Identificar la función generadora$ G(a,z) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n z^{(n+1)(n+2)/2}. $

Question

He calculado una función generadora para un problema que involucra una serie en particular y me gustaría saber si alguien tiene alguna referencia o una categorización para ello. Sus $$ G (a, z) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a ^ nz ^ {(n + 1) (n + 2) / 2}. $$ Parece estar relacionado con funciones theta (simuladas), pero parece ser más simple. En particular, me gustaría saber si$G(a,z)$ satisface alguna identidad.

Muchas gracias.

Answer 1

Otra posible conexión es el siguiente resultado de Gauss:

PS

(Andrews The Theory of Partitions Corolario 2.10), en realidad un corolario de la Triple Identidad Jacobi que usó Simon.

Una función theta simulada cercana es$$ \sum_{n=0}^\infty \ q^{n(n+1)/2} = \prod_{m=1}^\infty \ \frac{1-q^{2m}}{1-q^{2m-1}} $ $

(ver los ejemplos 12 y 13 del capítulo 2 de Andrews).

Answer 2

Cabe destacar que utilizando el triple producto Jacobi que tenemos $$ H (a, z) = a ^ {- 1} \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty a ^ nz ^ {n (n + 1) / 2} = a ^ {- 1} \ prod_ {m = 1} ^ \ infty (1 - z ^ m) (1 - z ^ ma) (1 + z ^ {m-1} a) $$ donde la principal diferencia es que la indexación cambia y estamos haciendo aproximadamente el doble de la suma que tú.

Si intentamos relacionarlos, obtenemos $$ H (a, z) = \ big (a ^ {- 1} + G (a, z) \ big) + a ^ {- 2} \ big (1 + a ^ {- 1} G (a ^ {- 1}, z) \ grande). $$

Sin embargo, no estoy seguro de cuánto ayuda esto.