¿Existe un teorema de Stokes para las derivadas covariantes?

Question

A $V$ -valor diferencial $n$ -forma $\omega$ en un colector $M$ es una sección del haz $\Lambda^n (T^*M) \otimes V$ . (Es decir, la restricción $\omega_p$ a cualquier espacio tangente $T_p M$ para $p \in M$ es un mapa completamente antisimétrico $\omega_p : T_p M \times T_p M \times \cdots \times T_p M \to V$ .) $V$ es un espacio vectorial.

Se puede definir una derivada covariante plana $\mathrm{d}\colon \Lambda^n (T^*M) \to \Lambda^{n+1} (T^*M)$ que es sólo la derivada exterior. Cumple el teorema de Stokes.

Supongamos ahora una estructura algebraica sobre $V$ y una representación $\rho$ de $V$ en un espacio vectorial $W$ . Para una elección $V$ -de una forma diferencial valorada $\omega$ también existe una derivada covariante (como una conexión principal) que actúa sobre todo $W$ -formas diferenciales valoradas $\phi$ mediante la fórmula $\mathrm{d}_\omega \phi := \mathrm{d} \phi + \omega \wedge_\rho \phi$ . El producto $\wedge_\rho$ es la composición de $\wedge$ que multiplica a $V$ -valorado $n$ -y un $W$ -valorado $m$ -a un $V \otimes W$ -valorado $(n+m)$ -y $\rho$ .

¿Existe una generalización del teorema de Stokes para $\mathrm{d}_\omega$ ? Tal vez algo como $\int_M \mathrm{d}_\omega \phi = \int_{\partial M} \phi$ hasta términos proporcionales a la curvatura de $\mathrm{d}_\omega$ ?

Answer 1

En las variedades unidimensionales, esto no es más que la holonomía (para los círculos) o el transporte paralelo (para los intervalos). Se integra la conexión con la exponencial ordenada por trayectoria. Parece que existe un teorema de Stokes para la teoría gauge superior: Existe una noción de 2-holonomía de las superficies para las 2-conexiones, véase por ejemplo Una invitación a la Teoría Gauge Superior o Integración multiplicativa no abeliana en superficies .

Answer 2

No soy matemático, pero he estudiado las formas diferenciales y las derivadas covariantes lo suficiente como para pensar que tengo una buena base sobre el tema. Veo un vector (o forma-p) en el espacio curvo como un tensor con una base que cambia de punto a punto. Por lo tanto, cuando se toma la derivada, no se debe tomar sólo la derivada del tensor, sino aplicar la regla del producto y tomar también la derivada de la base. Esto nos lleva a la definición de Misner, Thorn y Wheeler de los símbolos de Christoffel: $\nabla_ie_j=\Gamma^k_{ji}e_k$ (con $e_i$ y $e_k$ siendo vectores base). Se puede definir el derivada covariante exterior como la derivada exterior más la regla del producto aplicada a la base. Así, la derivada covariante exterior actúa sobre las magnitudes y las direcciones (o direcciones duales) mientras que la derivada exterior sólo actúa sobre las magnitudes. La derivada exterior covariante se reduce a la derivada covariante cuando las bases son constantes.

Desde esta perspectiva, el teorema de Stokes debería aplicarse a la derivada covariante exterior en el espacio curvo y en el espacio plano, pero no a la derivada exterior en el espacio curvo. Así que, según mi lógica, el teorema de Stokes debería considerarse una propiedad de la derivada exterior covariante y la versión que implica la derivada exterior regular es sólo un caso especial que sólo se aplica al espacio plano.

Answer 3

Estoy bastante oxidado en este tema, así que puede que me equivoque o entienda mal partes de la pregunta, pero por lo que entiendo tu configuración es esencialmente la de un haz de vectores con fibra $W$ con $\omega$ definiendo una conexión afín en ella.

Dado que usted tiene $W$ definida con una base global, la integral $\int_U \psi$ realmente tiene sentido para $U\subset M$ de dimensión $m$ y $\psi\in\Lambda^m(TM,W)$ . Sin embargo, desde la perspectiva de un haz vectorial, esta base es completamente arbitraria, y completamente independiente de la conexión definida por $\omega$ (aunque la representación de la conexión en términos de $\omega$ depende de esta elección de la base global).

Sin embargo, esto significa que incluso si la curvatura es cero, $\omega$ puede ser distinto de cero. Se puede observar que $$\int_M d_\omega\phi = \int_M d\phi+\omega\wedge_\rho\phi = \int_{\partial M}\phi + \int_M \omega\wedge_\rho\phi$$ así que básicamente estás preguntando qué se puede decir sobre $\int_M \omega\wedge_\rho\phi$ y esto no está limitado por la curvatura de $d_\omega$ .