Teoría Cuántica de Campos 4d Constructiva

Question

Como continuación a mi pregunta anterior ( ¿Cómo funciona la teoría cuántica de campos constructiva? ), me preguntaba qué dificultades han tenido los físicos para construir qfts axiomáticos en 4d. ¿Por qué el éxito de la CQFT en los espacios 2 y 3d no se ha extendido a las 4 dimensiones? Una vez más, cualquier nivel de respuesta está bien, pero es preferible que sea técnica.

Answer 1

La teoría de campo constructiva moderna se basa en implementaciones rigurosas del enfoque del grupo de renormalización (RG). Para hacerse una idea de lo que se trata, véase este breve documento introductorio . La RG es un sistema dinámico de dimensión infinita y construir una QFT significa esencialmente construir una órbita que normalmente une dos puntos fijos. Así que primero se necesita un punto fijo (por ejemplo el campo gaussiano sin masa) y se necesita que tenga una variedad inestable que no esté hecha enteramente de medidas gaussianas (QFTs triviales). En 4d el único punto fijo que tenemos a nuestra disposición es el gaussiano y al menos a nivel de la teoría de perturbaciones se tienen fuertes indicios de que para modelos como phi-cuatro e incluso generalizaciones mucho más complicadas, la correspondiente colector inestable es gaussiano. Los únicos modelos en 4d que se sabe que no sufren este problema son las teorías gauge no abelianas y su construcción (en volumen infinito) es una cuestión difícil (uno de los 7 Problemas del Milenio de Clay).

Los principales obstáculos técnicos para disponer de buenos candidatos para considerar siquiera su construcción son la estabilidad (estar en la región de la constante de acoplamiento positiva) y la positividad de Osterwalder-Schrader. En 4d uno debería ser capaz de construir un modelo phi-cuatro con propagador fraccionario $1/p^{\alpha}$ con $\alpha$ ligeramente mayor que 2 (el propagador estándar). Existen resultados parciales rigurosos en esta dirección por parte de Brydges, Dimock y Hurd: "Un punto fijo no gaussiano para $\varphi^4$ en $4\varepsilon$ dimensiones" . Por desgracia, lo más probable es que este modelo no satisfaga la positividad del sistema operativo.

Answer 2

En el espaciotiempo 2d se tiene Desigualdades log-Sobolev que controlan la fuerza de la energía potencial del campo cuántico en términos de su energía cinética. La mayor parte del éxito de la teoría constructiva de campos cuánticos en 2d se basa en ellos; prueba este libro para conocer los detalles:

- John Baez, Irving Segal y Zhengfang Zhou, Introducción a la Teoría Cuántica de Campos Algebraica y Construtiva .

En los espacios-tiempo de mayor dimensión estas desigualdades no se aplican, por lo que necesitamos métodos más sofisticados.

Esencialmente, a medida que pasamos a dimensiones cada vez más altas es posible que un campo sufra fluctuaciones cada vez más grandes sin mucho coste en energía cinética (o, alternativamente, en acción). Comprensión de Desigualdades de Sobolev y cómo funcionan en diferentes dimensiones es una buena manera de empezar a tener una idea de esto. El aumento de la dificultad en las dimensiones superiores debido a este efecto aparece en todos los trabajos de análisis, no sólo en la teoría cuántica de campos. Por ejemplo, la mecánica cuántica de átomos y moléculas (ecuación de Schrödinger con interacción de Coulomb) sería se comportó mal si hubiera una dimensión extra del espacio.