Una fórmula de reciprocidad cuadrática

Question

Inspirado por un problema de calcular explícitamente la invariantes por Reshetikhin y Turaev por cierto las 3-variedades, me he encontrado con el siguiente problema que involucran sumas de Gauss:

Me gustaría demostrar que $$\sum_{n=0}^k e^{-\tfrac{2\pi i}{4k+8}(n^2+2n)} = e^{\pi i/(2k+4)}\left(\sqrt{\tfrac{k}{2}+1}e^{-\pi i/4} - \frac{-e^{-\pi ik/2}+1}{2} \right).$$

Edita: Por un número de simplificaciones (ver el comentario abajo), esto se convierte en $$\sum_{n=1}^{r-1} e^{\tfrac{\pi i}{2r}n^2} = \sqrt{r}\frac{1+i}{2} - \frac{e^{\pi i r/2} + 1}{2}.$$

Esto por otra parte es equivalente a $$\sum_{n=1}^{r-1} e^{\tfrac{\pi i}{2r}n^2} = \sum_{n=1}^{r-1} e^{\tfrac{\pi i}{2r}(n+r)^2}$$ for all $r$, y esto se puede comprobar observando que la suma de dos contienen los mismos términos.

El resto de esta pregunta es a la izquierda encima de mi texto original: Al $k$ (o $r$) es aún, esta fórmula tiene el siguiente teorema de la reciprocidad cuadrática (y un par de trucos):

Deje $a,b,c$ ser enteros, $a \not= 0$, $c \not= 0$, y se supone que $ac+b$ es incluso. Entonces

$$\sum_{n=0}^{\lvert c \rvert -1} e^{\pi i(an^2+bn)/c} = \lvert c/a \rvert^{1/2} e^{\pi i (\lvert ac \rvert-b^2)/(4ac)} \sum_{n=0}^{\lvert a\rvert-1} e^{-\pi i (c n^2+b n)/a}.$$

Sin embargo, cuando mi $k$ es impar, esto no puede ser aplicado directamente. Cualquier sugerencias son bienvenidas.

Answer 1

Serge Lang, la Teoría Algebraica de números, página 85, define $$G(a,b)=\sum_{x{\rm\ mod\ }b}e^{2\pi iax^2/b}$$ for $un$, $b$ non-zero integers, $b\gt0$, $\gcd(a,b)=1$, and states on page 87 $$\eqalign{G(1,b)&=(1+i)\sqrt b{\rm\ if\ }b\equiv0\pmod4,\cr &=\sqrt b{\rm\ if\ }b\equiv1\pmod4,\cr &=0{\rm\ if\ }b\equiv2\pmod4,\cr &=i\sqrt b{\rm\ if\ }b\equiv3\pmod4.\cr}$$

Me doy cuenta de que no es exactamente la suma que usted tiene, pero los términos de $n\gt r-1$ duplicar los de $n\le r-1$, entonces usted debería ser capaz de conseguir lo que usted desea fuera de estas fórmulas.