Calcular la integral %-%-%.

Question

<blockquote> <p>Calcular la integral <span class="math-container">%-%-%$</span></p> </blockquote> <p><strong>Mi dirección:</strong> Puesto que esta integral no puede calcular normalmente, traté de usar la propiedad siguiente:<span class="math-container">%-%-%$</span> Entonces, tengo <span class="math-container">$$\int_0^{\pi/2} \frac{\cos^3x}{\sin^2x + \cos^3x}dx.$$</span> por lo tanto <span class="math-container">$$\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(a+b-x)dx.$$</span></p> <p>Me quedé aquí.</p>

Answer 1

Esta integral tiene una forma cerrada a pesar de ser muy desordenada. Tenemos <span class="math-container">\begin{align}I&=\int0^{\pi/2} \frac{\cos^3x}{\sin^2x + \cos^3x}\,dx\&=\frac14\int{-\pi}^\pi\frac{\cos^3(u/2)}{\sin^2(u/2)+\cos^3(u/2)}\,du\&=\frac14\oint{|z|=1}\frac{\frac18(z^{1/2}+z^{-1/2})^3}{-\frac14(z^{1/2}-z^{-1/2})^2+\frac18(z^{1/2}+z^{-1/2})^3}\frac{dz}{iz}\&=-\frac i4\oint{|z|=1}\frac{(z+1)^3}{z((z+1)^3-2z^{1/2}(z-1)^2)}\,dz.\end---</span> <span class="math-container"></span> <span class="math-container"></span> <span class="math-container"></span> <span class="math-container"></span> Por lo <span class="math-container">tanto$(z+1)^3-2z^{1/2}(z-1)^2=(w^2+1)-2w(w^2-1)^2=\prod\limits_{i=1}^6(w-z_i)$w-v+1/v$</span> para obtener una ecuación cúbica que es solucionable en los radicales, como en la respuesta de @Quanto.