¿Cómo encontrar una métrica positiva de Griffiths en un haz vectorial amplio?
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La positividad de la curvatura biseccional holomorfa es misma que la positividad de Griffiths del haz tangente holomorfo
Y.T. Siu y Shing Tung Yau dieron una respuesta afirmativa (que puede considerarse como una prueba analítica de la conjetura de Hartshorne debido a la prueba algebraica de Mori) a la conjetura de Frankel diciendo que toda variedad compacta de K\"ahler con curvatura biseccional holomorfa positiva es biholomorfa al espacio proyectivo
Campana y Flenner dieron una respuesta positiva a la conjetura de Griffiths cuando la base S es una curva proyectiva ver
F. Campana y H. Flenner, A characterization of ample vector bundles on una curva. Math. Ann. 287 (1990), no. 4, 571-575.
Tu pregunta necesita más detalles, ¿a qué te refieres con métrica hermitiana?, ya que la definición de positividad de Griffiths para la métrica hermitiana lisa es diferente con la métrica hermitiana continua (que puede no ser lisa en general) o la métrica hermitiana singular bien definida
Una métrica continua hermitiana $h$ en un haz de vectores $\pi : E \to X$ se dice que es positiva de Griffiths, si existe existe una forma real (1, 1) suave y positiva $ω_X$ en $X$ tal que
$$\pi^*\omega_X+\sqrt{-1}\partial\bar\partial \log h\leq 0$$
en el sentido de las corrientes
Pero un haz vectorial hermitiano $E$ con una métrica hermitiana suave sobre una variedad compleja $M$ para ser Griffiths positivo si $$\sqrt{-1}\Theta_{u\bar u}(X,\bar X) >0 \Longleftrightarrow R_{X\bar X u \bar u} >0$$ para cualquier $(1,0)$ vector tangente $X$ de $M$ y la sección no evanescente $u$ del haz vectorial $E$ .
Lo bueno para la positividad de Griffiths de la métrica suave hermitiana es que $(E, h)$ es semipositiva si y sólo si su dual $(E^⋆, h^⋆)$ es seminegativo en el sentido de Griffiths (lo sé sólo para la métrica hermitiana suave y no lo sé para la métrica hermitiana continua en el haz de vectores) (la propiedad de dualidad de positividad para otras definiciones como la positividad de Nakano no se conoce)
Ph. Griffiths en el siguiente trabajo dio la siguiente conjetura importante para suave métrica hermitiana
Ph. Griffiths, Periods of integrals on algebraic manifolds, III. Some global differential geometric properties of the period mapping, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. ' 38 (1970) 125-180
Conjetura : Dejemos que $E$ sea un haz vectorial amplio, en el sentido de que $\mathcal O_E (1)$ es amplia en $\mathbb P(E^⋆)$ . Entonces $E$ admite un suave Métrica hermitiana $h$ tal que $(E, h)$ es positivo en el sentido de Griffiths
La métrica singular hermitiana en el haz de vectores no está bien definida en general, pero conocemos algunos resultados al menos para algunos casos
Un haz vectorial singular hermitiano $(E, h)$ que es positivamente curvo en el sentido de en el sentido de Griffiths es débilmente positiva
Podemos extender la conjetura de Griffiths para la métrica hermitiana singular de que la positividad débil de $E$ implica la semipositividad de Griffiths?
Hay algunos buenos resultados para la imagen directa del haz de líneas relativo (nótese que la imagen directa del haz de líneas relativo no es un haz de líneas en general y es un haz vectorial si tomamos su dual doble como reflexivo)
Ver Encuesta de Paun papel
La bonita cuestión es que si elegimos un continuo (o singular) métrica hermitiana con positividad de Griffiths para ejecutar el flujo de Yau-Donaldson
$$\frac{\partial h_t}{\partial t}=-2h_t(\Lambda F_{h_t}-\lambda Id)$$ para obtener una métrica Hermitiana-Einstein singular, entonces todas las soluciones siguen siendo positivas en el sentido de Griffiths? Esto puede ayudar a verificar la existencia de la métrica Hermitiana-Einstein relativa en las fibraciones, de modo que los módulos de las fibras son haces vectoriales estables. Dado que debemos elegir una métrica Hermitana singular para dicho flujo
adum
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En cuanto la colmena base tiene dimensión mayor que uno, no se conoce la existencia de métricas positivas de Griffiths en un haz vectorial amplio (e incluso en el caso unidimensional, no es obvio: ¡es un teorema!). De todos modos esta existencia es conjetural (conjetura de Griffiths).
Por otro lado, si un haz vectorial hermitiano $E\to X$ tiene curvatura de Griffiths positiva, entonces es amplia. Esto es bastante sencillo, ya que cualquier métrica hermitiana sobre $E$ induce de forma natural una métrica hermitiana (cociente) sobre el haz de líneas tautológico $\mathcal O_{E}(1)\to\mathbb P(E)$ sobre el colector proyectado de hiperplanos de $E$ . Con tal métrica, la curvatura de $\mathcal O_{E}(1)$ puede calcularse en términos de la curvatura de $E$ y se puede ver que si $E$ es Griffiths positivo entonces $\mathcal O_{E}(1)$ tiene una curvatura estrictamente positiva. Así, por el criterio de proyectividad de Kodaira, $\mathcal O_{E}(1)$ es amplia y, por tanto, por definición, $E$ es amplia.
La cuestión es que no todas las métricas de $\mathcal O_{E}(1)$ proviene de una métrica de $E$ . Por lo tanto, si $E$ es amplia, es decir, si $\mathcal O_{E}(1)$ es amplia, entonces $\mathcal O_{E}(1)$ admite una métrica de curvatura positiva, pero entonces no se sabe cómo producir una métrica sobre $E$ con las propiedades de positividad deseadas.
Si quieres verlo desde otro punto de vista, la dificultad es que si $E$ es amplia se puede construir una métrica positiva de Griffiths en alguna potencia simétrica alta $S^mE$ de $E$ pero, excepto cuando el rango de $E$ es uno, no sabemos cómo extraer $m$ -raíces de tales métricas para obtener una en $E$ .
