Ayuda a resolver$\int \:\frac{dx}{x+\sqrt{9x^2-9x+2}}$

Question

Al leer un artículo en línea, me encontré con esta integral que he estado tratando de resolver desde ayer por la mañana y, literalmente, probé todos los métodos de integración que conozco y todavía no puedo resolverlo. Soy un principiante en integrales, ¡así que apreciaremos la ayuda!

¡Intenté la sustitución, la integración por partes y parece que no puedo encontrar la manera correcta!

PS

¿Alguien sabe cómo proceder desde aquí? ¿Qué hacer? Porque no tengo ni idea. ¡Gracias!

Answer 1

La sustitución de Euler $\sqrt{9x^2-9x+2} =t+3x$ es más adecuada aquí, lo que da como resultado $x=\frac{2-t^2}{3(2t+3)} $ , $dx=-\frac23 \frac{t^2+3t+2}{(2t+3)^2}dt$ y \begin{align} &\int \:\frac{1}{x+\sqrt{9x^2-9x+2}}dx\\ =& -2 \int \frac{t^2+3t+2}{(2t+3)(2t^2+9t+8)}dt\\ =&-\frac12 \int\left(\frac1{2t+3}+\frac t{2t^2+9t+8} \right)dt\\ =& -\frac14\ln|2t+3| -\frac1{8}\ln| 2t^2+9t+8|+\frac9 {8\sqrt{17}}\ln|\frac{4t+9-\sqrt{17}}{4t+9+\sqrt{17}} |+C \end{align}

Answer 2

Prueba esto.

\begin{align} \int \:\frac{dx}{x+\sqrt{9x^2-9x+2}} &={\displaystyle\int}\left(\dfrac{\sqrt{9x^2+9x+2}}{8x^2+9x+2}-\dfrac{x}{8x^2+9x+2}\right)\mathrm{d}x \\ {\displaystyle\int}\dfrac{\sqrt{9x^2+9x+2}}{8x^2+9x+2}\,\mathrm{d}x &={\displaystyle\int}\dfrac{\sqrt{\left(3x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}}}{8x^2+9x+2}\,\mathrm{d}x\tag{solve for 1st integral} \\ &=\frac12 {\displaystyle\int}\dfrac{\sqrt{9\left(2x+1\right)^2-1}}{8x^2+9x+2}\,\mathrm{d}x \\ &=\frac12{\displaystyle\int}\dfrac{\sqrt{9u^2-1}}{4u^2+u-1}\,\mathrm{d}u \tag{%#%#%, %#%#%} \\ &=\frac12 {\displaystyle\int}\dfrac{\sqrt{\sec^2\left(v\right)-1}\sec\left(v\right)\tan\left(v\right)}{3\left(\frac{4\sec^2\left(v\right)}{9}+\frac{\sec\left(v\right)}{3}-1\right)}\,\mathrm{d}v \tag{%#%#%, %#%#%} \\ &=\frac32 {\displaystyle\int}\dfrac{\sec\left(v\right)\tan^2\left(v\right)}{4\sec^2\left(v\right)+3\sec\left(v\right)-9}\,\mathrm{d}v \\ &=\frac32 {\displaystyle\int}\dfrac{\frac{\left(\tan^2\left(\frac{v}{2}\right)+1\right) \,\cdot\, 4\tan^2\left(\frac{v}{2}\right)}{\left(1-\tan^2\left(\frac{v}{2}\right)\right)^3}}{\left(\frac{4\left(\tan^2\left(\frac{v}{2}\right)+1\right)^2}{\left(1-\tan^2\left(\frac{v}{2}\right)\right)^2}+\frac{3\left(\tan^2\left(\frac{v}{2}\right)+1\right)}{1-\tan^2\left(\frac{v}{2}\right)}-9\right)}\,\mathrm{d}v \\ & \end{align}