Las fórmulas de prostaféresis: técnica de memorización

Question

Esta pregunta está relacionada únicamente con mis estudiantes de una escuela secundaria e indirectamente conmigo. Las fórmulas a continuación son las fórmulas de prostaheresis,

$$\begin{cases} \sin\alpha+\sin\beta=2\,\sin \dfrac {\alpha+\beta}{2}\, \cos \dfrac {\alpha-\beta}{2} \\ \sin\alpha-\sin\beta=2\sin \dfrac {\alpha-\beta}{2} \,\cos \dfrac {\alpha+\beta}{2}\\ \cos\alpha+\cos\beta=2\cos \dfrac {\alpha+\beta}{2}\,\cos \dfrac {\alpha-\beta}{2}\\ \cos\alpha-\cos\beta=-2 \,\sin \dfrac {\alpha+\beta}{2} \,\sin \dfrac {\alpha-\beta}{2} \end{cases}$$

y aunque puedo encontrarlas, no puedo encontrar una técnica para memorizarlas.

¿Existe una técnica para poder memorizarlas?

Answer 1

Es útil conocer el principio de que la suma o diferencia de seno y coseno puede escribirse en términos de productos de seno y coseno. Pero nunca memorizo esas identidades per se. Siempre que sea necesario, puedes derivarlas si recuerdas las fórmulas para $\sin(a\pm b)$ y $\cos(a\pm b)$. O simplemente puedes mirar la lista conocida: https://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Identidades_trigonométricas

Si necesito tomar un examen de libro cerrado que requiere memorizar estas identidades, algunas observaciones pueden ser útiles para la memoria a corto plazo.

• Si conoces $\sin(-x)=-\sin(x)$, entonces la segunda identidad viene inmediatamente de la primera.
• Para el resto: $$\begin{align} \color{green}{\sin}\alpha+\color{green}{\sin}\beta=2\,\color{green}{\sin}\dfrac {\alpha+\beta}{2}\, \color{green}{\cos}\dfrac {\alpha-\beta}{2} \\ \cos\alpha\color{red}{+}\cos\beta=2\color{red}{\cos} \dfrac {\alpha+\beta}{2}\,\color{red}{\cos} \dfrac {\alpha-\beta}{2}\\ \cos\alpha\color{blue}{-}\cos\beta=\color{blue}{-}2 \,\color{blue}{\sin} \dfrac {\alpha+\beta}{2} \,\color{blue}{\sin} \dfrac {\alpha-\beta}{2} \end{align}$$

Answer 2

Estoy hablando de las fórmulas de suma de ángulos: $$\eqalign{ & \cos \left( {a \pm b} \right) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b \cr & \sin \left( {a \pm b} \right) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b \cr}$$ Entonces por ejemplo, sumando las ecuaciones para $\cos$ $$\cos(a+b)+ \cos(a-b)=2\cos a \cos b$$ Después de lo cual puedes aplicar $$\left\{ \matrix{ \alpha = {{a + b} \over 2} \hfill \cr \beta = {{a - b} \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = \alpha + \beta \hfill \cr b = \alpha - \beta \hfill \cr} \right.$$

Answer 3

Esta respuesta no es apta para el público general de la escuela secundaria, pero puede ser útil para estudiantes particularmente curiosos.

Me gusta mucho cómo Feynman deriva estas fórmulas en su conferencia "Beats" (Conferencias sobre Física, volumen 1, https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_48.html, sección 48-1). Utiliza exponenciales complejas, algo que ya ha sido mencionado en los comentarios.

Siempre he amado su explicación. Estas fórmulas aparentemente oscuras en realidad expresan la suma y la resta de dos ondas. Dado que hay una parte real y una imaginaria, esto equivale a cuatro fórmulas reales. El fenómeno físico detrás de ellas es el de los "Beats", y se puede escuchar fácilmente eligiendo dos cuerdas de una guitarra. De hecho, se puede usar para afinarla.

Answer 4

Puedes memorizar el patrón $$f(a)+\varepsilon f(b)=2\delta g\left(\frac{a+b}{2}\right)h\left(\frac{a-b}{2}\right)$$ donde $f$, $g$ y $h$ son o bien $\sin$ o $\cos$, y $\varepsilon$ y $\delta$ son o bien $1$ o $-1$. Dados $f$ y $\varepsilon$, entonces necesitas una estrategia para encontrar $g$, $h$ y $\delta$.

Paso 1: Encuentra $g$ y $h$

Especializando esto para $b=a$ obtenemos $$f(a)+\varepsilon f(a)=2\delta g\left(a\right)h\left(0\right)$$ y para $b=-a$ obtenemos $$f(a)+\varepsilon f(-a)=2\delta g\left(0\right)h\left(a\right)$$

Observa que si la función que se le da $0$ como entrada es $\sin$ entonces el lado derecho es $0$ para todos los $a$, mientras que si es $\cos$, el lado derecho no es cero para algunos $a$. Utilizando la (a)simetría de $f$, podemos determinar fácilmente si el lado izquierdo es cero para todos los $a$, y por lo tanto saber qué son $g$ y $h$:

• Si $f(a)+\varepsilon f(a)=0$ para todos los $a$ entonces $h=\sin$ y de lo contrario $h=\cos$;
• Si $f(a)+\varepsilon f(-a)=0$ para todos los $a$ entonces $g=\sin$ y de lo contrario $g=\cos$.

Paso 2: Encuentra $\delta$

Tomando $a=\frac{\pi}{2}$ y $b=0$ obtenemos

$$f\left(\frac{\pi}{2}\right)+\varepsilon f(0)=2\delta g\left(\frac{\pi}{4}\right)h\left(\frac{\pi}{4}\right)$$

Dado que tanto $\sin$ como $\cos$ evalúan a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ en $\frac{\pi}{4}$, entonces tenemos

$$f\left(\frac{\pi}{2}\right)+\varepsilon f(0)=\delta$$

lo cual nos da $\delta$.

Utilizar otros valores específicos para los cuales ambos lados sean fáciles de evaluar también funcionaría siempre y cuando tanto $g\left(\frac{a+b}{2}\right)$ como $h\left(\frac{a-b}{2}\right)$ sean diferentes de cero (así que no necesitas recordar tomar $a=\frac{\pi}{2}$ y $b=0$).

Ejemplo

$$\cos(a)- \cos(b)=2\delta g\left(\frac{a+b}{2}\right)h\left(\frac{a-b}{2}\right)$$

Tomando $a=b$ en el lado izquierdo lo hace $0$ así que $h=\sin$. Tomando $a=-b$ también lo hace cero así que $g=\sin$: $$\cos(a)- \cos(b)=2\delta \sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)$$

Especializando a $b=0$ obtenemos $$\cos(a)-\cos(0)=2\delta \sin\left(\frac{a}{2}\right)\sin\left(\frac{a}{2}\right)$$ así que solamente necesitamos seleccionar un valor de $a$ tal que $\sin\left(\frac{a}{2}\right)\not = 0$. Tomando $a=\pi$ tenemos: $$\cos(\pi)-\cos(0)=2\delta \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$$ es decir, $$-2=2\delta$$ lo cual nos permite concluir que $\delta=-1$ y por lo tanto: $$\cos(a)- \cos(b)=-2 \sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)$$

Answer 5

Si los estudiantes pueden recordar

1. la primera fórmula $$\begin{equation} \sin\alpha+\sin\beta=2\,\sin \dfrac {\alpha+\beta}{2}\, \cos \dfrac {\alpha-\beta}{2}, \end{equation}$$
2. la simetría impar de $\sin(x)$ y las reglas básicas de diferenciación,

entonces pueden derivar rápidamente las otras tres fórmulas. La segunda sigue por $(2)$, como ya se mencionó. Tomando la derivada con respecto a $\alpha$ en la primera fórmula obtenemos $$\begin{align} \cos(\alpha)=\cos\bigg(\frac{\alpha+\beta}{2}\bigg)\cos\bigg(\frac{\alpha-\beta}{2}\bigg)+\sin\bigg(\frac{\alpha+\beta}{2}\bigg)\sin\bigg(\frac{\alpha-\beta}{2}\bigg), \end{align}$$ y cambiando $\alpha$ y $\beta$ la misma fórmula para $\cos(\beta)$ sigue. Ahora sumar y restar (usando $(2)$ nuevamente) para obtener las dos identidades para el coseno.