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Las fórmulas de prostaféresis: técnica de memorización

Esta pregunta está relacionada únicamente con mis estudiantes de una escuela secundaria e indirectamente conmigo. Las fórmulas a continuación son las fórmulas de prostaheresis,

{sinα+sinβ=2sinα+β2cosαβ2sinαsinβ=2sinαβ2cosα+β2cosα+cosβ=2cosα+β2cosαβ2cosαcosβ=2sinα+β2sinαβ2

y aunque puedo encontrarlas, no puedo encontrar una técnica para memorizarlas.

¿Existe una técnica para poder memorizarlas?

5 votos

Una buena pregunta, ya que a menudo me pregunto cómo hacer esto yo mismo, ¡y estoy enseñando una clase de trigonometría este semestre! Por lo general, solo derivo identidades sobre la marcha usando tipos de técnicas muy compatibles (por ejemplo, eiθ o matrices de rotación), pero imagino que te refieres a algún tipo de técnica de memorización o mnemotécnica. Aunque no tengo nada que ofrecer en este momento, espero que puedas encontrar una respuesta (para ambos).

13 votos

Nunca pude recordar estas fórmulas. Siempre las encuentro de las habituales cos(a±b) y sin(a±b).

3 votos

Personalmente prefiero memorizar los equivalentes, como cos(a+b)=cosacosbsinasinb, de los cuales los anteriores se deducen reemplazando a,b con su semisuma y semidiferencia.

16voto

mrsamy Puntos 2155

Es útil conocer el principio de que la suma o diferencia de seno y coseno puede escribirse en términos de productos de seno y coseno. Pero nunca memorizo esas identidades per se. Siempre que sea necesario, puedes derivarlas si recuerdas las fórmulas para sin(a±b) y cos(a±b). O simplemente puedes mirar la lista conocida: https://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Identidades_trigonométricas

Si necesito tomar un examen de libro cerrado que requiere memorizar estas identidades, algunas observaciones pueden ser útiles para la memoria a corto plazo.

  • Si conoces sin(x)=sin(x), entonces la segunda identidad viene inmediatamente de la primera.
  • Para el resto: sinα+sinβ=2sinα+β2cosαβ2cosα+cosβ=2cosα+β2cosαβ2cosαcosβ=2sinα+β2sinαβ2

0 votos

Mientras tanto muchas gracias. Recuerdo muy bien la suma o diferencia de seno y coseno pero el problema principal para mí es donde encontré el signo negativo :-(. Sin embargo, con los colores queda muy bonito.

0 votos

@Sebastiano Bueno, el signo menos especial solo aparece en la última identidad. Si fuera por un examen, simplemente lo memorizaría por separado.

0 votos

Y tengo que recordar que se aplica cuando tengo cosαcosβ.

10voto

G Cab Puntos 51

Estoy hablando de las fórmulas de suma de ángulos: cos(a±b)=cosacosbsinasinbsin(a±b)=sinacosb±cosasinb Entonces por ejemplo, sumando las ecuaciones para cos cos(a+b)+cos(ab)=2cosacosb Después de lo cual puedes aplicar {α=a+b2β=ab2{a=α+βb=αβ

0 votos

Sí sí, esta es la prueba de que también adopto (la prueba clásica). Acepto también tu respuesta.

1 votos

Lo siento, vi la respuesta de @mrsamy que es idéntica: sin embargo, mantengo mi respuesta como un "refuerzo" (después de votar a favor de @mrsamy)

9voto

Martin Puntos 2000

Esta respuesta no es apta para el público general de la escuela secundaria, pero puede ser útil para estudiantes particularmente curiosos.

Me gusta mucho cómo Feynman deriva estas fórmulas en su conferencia "Beats" (Conferencias sobre Física, volumen 1, https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_48.html, sección 48-1). Utiliza exponenciales complejas, algo que ya ha sido mencionado en los comentarios.

Siempre he amado su explicación. Estas fórmulas aparentemente oscuras en realidad expresan la suma y la resta de dos ondas. Dado que hay una parte real y una imaginaria, esto equivale a cuatro fórmulas reales. El fenómeno físico detrás de ellas es el de los "Beats", y se puede escuchar fácilmente eligiendo dos cuerdas de una guitarra. De hecho, se puede usar para afinarla.

0 votos

Te doy mi voto positivo y gracias por tu respuesta-consejo. Muy bonito el enlace: He entendido muchas partes pero no todas aunque a mi edad de 46 años enseño con tanta pasión y también investigo sobre la electrodinámica relativista también presente en el enlace. Desafortunadamente, a pesar de que he estado enseñando durante muchos años, para mí la verdadera escuela ya no existe, la que realmente creía. Muchas gracias desde Sicilia y te agradeceré más.

2 votos

Estoy contento de que lo hayas disfrutado. El mundo necesita maestros con pasión como tú. (Nací y crecí en Puglia, y estoy enamorado de Sicilia. He estado allí muchas veces pero todavía no es suficiente. Buona serata).

0 votos

Querido Giuseppe, lo siento, pero te confieso que estoy llorando en este momento. Las razones son muchas: la escuela no necesita maestros como yo porque con tanta humildad siempre van al primer lugar personas incompetentes. ¿Puedes por favor crear una habitación si tienes 5 minutos de tiempo? Favor de hacerlo en italiano porque estoy usando el traductor.

4voto

MarlonRibunal Puntos 1732

Puedes memorizar el patrón f(a)+εf(b)=2δg(a+b2)h(ab2) donde f, g y h son o bien sin o cos, y ε y δ son o bien 1 o 1. Dados f y ε, entonces necesitas una estrategia para encontrar g, h y δ.

Paso 1: Encuentra g y h

Especializando esto para b=a obtenemos f(a)+εf(a)=2δg(a)h(0) y para b=a obtenemos f(a)+εf(a)=2δg(0)h(a)

Observa que si la función que se le da 0 como entrada es sin entonces el lado derecho es 0 para todos los a, mientras que si es cos, el lado derecho no es cero para algunos a. Utilizando la (a)simetría de f, podemos determinar fácilmente si el lado izquierdo es cero para todos los a, y por lo tanto saber qué son g y h:

  • Si f(a)+εf(a)=0 para todos los a entonces h=sin y de lo contrario h=cos;
  • Si f(a)+εf(a)=0 para todos los a entonces g=sin y de lo contrario g=cos.

Paso 2: Encuentra δ

Tomando a=π2 y b=0 obtenemos

f(π2)+εf(0)=2δg(π4)h(π4)

Dado que tanto sin como cos evalúan a 22 en π4, entonces tenemos

f(π2)+εf(0)=δ

lo cual nos da δ.

Utilizar otros valores específicos para los cuales ambos lados sean fáciles de evaluar también funcionaría siempre y cuando tanto g(a+b2) como h(ab2) sean diferentes de cero (así que no necesitas recordar tomar a=π2 y b=0).

Ejemplo

cos(a)cos(b)=2δg(a+b2)h(ab2)

Tomando a=b en el lado izquierdo lo hace 0 así que h=sin. Tomando a=b también lo hace cero así que g=sin: cos(a)cos(b)=2δsin(a+b2)sin(ab2)

Especializando a b=0 obtenemos cos(a)cos(0)=2δsin(a2)sin(a2) así que solamente necesitamos seleccionar un valor de a tal que sin(a2)0. Tomando a=π tenemos: cos(π)cos(0)=2δsin(π2)sin(π2) es decir, 2=2δ lo cual nos permite concluir que δ=1 y por lo tanto: cos(a)cos(b)=2sin(a+b2)sin(ab2)

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Hola y también esta respuesta es muy bonita. Muchas gracias por tu esfuerzo y ayuda. +1

2voto

Jonas Puntos 116

Si los estudiantes pueden recordar

  1. la primera fórmula sinα+sinβ=2sinα+β2cosαβ2,
  2. la simetría impar de sin(x) y las reglas básicas de diferenciación,

entonces pueden derivar rápidamente las otras tres fórmulas. La segunda sigue por (2), como ya se mencionó. Tomando la derivada con respecto a α en la primera fórmula obtenemos cos(α)=cos(α+β2)cos(αβ2)+sin(α+β2)sin(αβ2), y cambiando α y β la misma fórmula para cos(β) sigue. Ahora sumar y restar (usando (2) nuevamente) para obtener las dos identidades para el coseno.

1 votos

He apreciado también tu respuesta. Muchas gracias por tu cooperación.

0 votos

¿Por qué la primera fórmula se parece a algo de mi clase de radioaficionados sobre modulación de amplitud?

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