Ampliación de valoración

Question

Fijar un número primo$p$. Supongamos que tengo una valoración$v_p: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ sobre los racionales$\mathbb{Q}$. Es decir,$v_p( p^n(\frac{a}{b})) = p^{-n}$ donde cada$a,b$ no es divisible por$p$.

¿Cómo puedo extender$v_p$ a$v$ en los reales$\mathbb{R}$ de manera que$v|_\mathbb{Q} = v_p$? Estoy buscando una descripción explícita de$v$, si es posible. Sé a ciencia cierta que se puede ampliar la valoración en cualquier extensión de campo.

Gracias,

Answer 1

Puede extender$v_p$ a$\overline{\mathbb{Q}}_p$ de una manera única, y luego la teoría general de campos le dice que$\overline{\mathbb{Q}}_p$ es isomorfo a$\mathbb{C}$, lo que le da la extensión que desea. Los campos$\overline{\mathbb{Q}}_p$ y$\mathbb{C}$ son isomorfos porque ambos están cerrados algebraicamente y tienen el mismo grado de trascendencia sobre$\mathbb{Q}$. Sin embargo, como dijo Thomas, esta construcción no es explícita, de hecho utiliza el axioma de elección.

Answer 2

Como ha señalado, se deduce por motivos generales que hay una extensión de$v_p$ a una valoración de${\mathbb R}$ (de hecho, hay innumerables extensiones de este tipo), pero es imposible dar un " descripción "explícita. De hecho, dicha extensión no solo será discontinua con respecto a la topología euclidiana habitual en los reales, sino que no será una función mensurable.