¿Existe un complejo simplicial (puro) conectable $\Delta$ con la siguiente propiedad? Hay alguna faceta $F$ de $\Delta$ de tal manera que ningún bombardeo pueda comenzar con $F$ .
Esta condición se ve fácilmente como equivalente a la existencia de un complejo simplicial conectable $\Delta'$ con al menos dos facetas, tal que que para alguna faceta $F'$ cada bombardeo de $\Delta'$ termina con $F'$ .
La respuesta a su pregunta es "sí". Tales complejos fueron primero expuesta por Hachimori en su tesis doctoral. Véase la clara explicación en su página web:
http://infoshako.sk.tsukuba.ac.jp/~hachi/math/library/nonextend_eng.html
El $f$ -de este complejo es (1,7,19,13). Sospecho que 7 vértices es el mínimo. ACTUALIZACIÓN: Más tarde me di cuenta de que Simon expuso anteriormente un ejemplo de tipo similar en el Apéndice F de su documento de 1994:
Simon, Robert Samuel , Propiedades combinatorias de la "limpieza" J. Algebra 167, nº 2, 361-388 (1994). ZBL0855.13013 .
La página web de Hachimori también tiene una presentación bastante bonita del ejemplo de Simon:
http://infoshako.sk.tsukuba.ac.jp/~hachi/math/library/simon_eng.html
Mientras tanto, Adiprasito, Benedetti y Lutz (desde que hiciste la primera pregunta) han extendido una idea similar a la de Hachimori a una dimensión arbitraria en su artículo:
Adiprasito, Karim A.; Benedetti, Bruno; Lutz, Frank H. , Ejemplos extremos de complejos colapsables y teoría de Morse discreta aleatoria , Discrete Comput. Geom. 57, No. 4, 824-853 (2017). ZBL1365.05305 .
Los complejos que tienen la propiedad de Hachimori han surgido recientemente como herramienta. Se utilizaron como uno de los principales bloques de construcción para demostrar que el problema de SHELLABILITY es NP-completo en este documento de Goaoc, Paták, Patáková, Tancer y Wagner. (El artículo apareció en las actas de un congreso, aunque no parece estar todavía en zbMath).
Mencionaré entre paréntesis que Goaoc, Paták, Patáková, Tancer y Wagner requieren también algunos otros bloques de construcción del mismo sabor que el complejo de Hachimori. Sus construcciones para estos son un poco complicadas para mi gusto, y no incluyen todos los detalles en el documento enlazado anteriormente. Mi estudiante de doctorado Andrés Santamariá Galvis tiene algunas construcciones más sencillas que se basan en el ejemplo de Hachimori.
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Si dicha faceta $F$ existe, entonces es cierto que $F$ contiene un vértice de desprendimiento ?
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El ejemplo 1.17 funciona a partir de math.cornell.edu/~eranevo/homepage/FaceRingNotes.pdf
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@T.Amdeberhan El ejemplo 1.17 no funciona. De hecho, se sabe que el menor $f$ -de un complejo simplicial desgranable para el que algún desgranado parcial no puede extenderse a un desgranado es $(6,14,9)$ .