Una incrustación simétrica de múltiples

Question

Suponga que$M$ es una variedad.

¿Hay una incrustación de$M$ en algunos$\mathbb{R}^{n}$ de manera que la imagen de$M$ en$\mathbb{R}^{n}$ sea invariante bajo cada reflejo$(x_{1},x_{2},\ldots x_{i},\ldots,x_{n}) \mapsto (x_{1},x_{2},\ldots , -x_{i},\ldots,x_{n})$, para todos los$i\in \{1,2,\ldots ,n\}$?

Answer 1

No. Existen colectores cerrados que no admiten acciones de grupo compacto, en particular, acciones$Z_2$. Por ejemplo, Shultz mostró en "Acciones grupales sobre variedades hipertorales. II". que en las dimensiones$\ge 4$ cada clase de cobordismo orientado contiene tal variedad.