una pregunta sobre conjuntos abiertos conectados en$R^2$

Question

Sea$U,V$ dos conjuntos abiertos conectados no vacíos en$\mathbb{R}^2$ y$U\subsetneqq V$. Quiero preguntar si debe existir una bola abierta$B\subset V$ tal que$B\not\subset U$ y$B\cap U$ es un conjunto abierto conectado no vacío.

Answer 1

Sea$V$ el complemento de un punto$a$ y$U$ el complemento de un rayo$r$ con el punto final$a$. Cada bola que no contiene$a$ y que se cruza con$r$ se divide de hecho en$r$.