Un problema de la lista corta de la Olimpiada rumana de matemáticas

Question

Demuestre que $$\int_0^x \left(1+\frac{t}{1!}+\frac{t^2}{2!}+...+\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!} \right)\cdot \frac{1}{1+t^2} dt <\frac{\arctan x}{x} \int_0^x e^t dt$$ for all $ x> 0$. (it is not stated in the question, but I suppose that $ n $ es solo un número entero positivo) Intenté utilizar el hecho de que $e^t= \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{t^k}{k !}$ . Esto me dio que $$1+\frac{t}{1!}+\frac{t^2}{2!}+...+\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}< e^t, \forall t\in [0,x]$$for some arbitrarily fixed $ x $ . Esto llevó a $$\int_0^x \left(1+\frac{t}{1!}+\frac{t^2}{2!}+...+\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!} \right)\cdot \frac{1}{1+t^2} dt < \int_0^x \frac{e^t}{1+t^2} dt.$ $ Desde aquí intenté aplicar IBP, pero no parece acercarse a la desigualdad requerida.