Cohomology de la gavilla fue introducida primero en geometría algebraica por Serre. Él utilizó cohomología Čech definir cohomology de la gavilla. Grothendeick más tarde dio una definición más abstracta de la derecha functor derivado del functor de la sección global.
Lo que todavía no entienden lo que fue la motivación real para la definición de cohomology de la gavilla. ¿Cuál fue el problema que estaban tratando de resolver?
Poleas y gavilla cohomology se inventaron no por Serre, pero por Jean Leray mientras estaba en la Guerra Mundial II preso en Oflag XVII (Offizierlager=Oficial de Campo) en Austria.
Después de la guerra, publicó sus resultados en 1945 en la Revista de Liouville.
Su notable, pero en lugar oscuro resultados fueron esclarecidos por Borel, Henri Cartan, Koszul, Serre y Weil en la década de 1940 y principios de 1950.
La primera espectacular aplicación de Leray las nuevas ideas fue Weil prueba de De Rham del teorema: se calcula el cohomology de la constante gavilla $\underline {\mathbb R}$ en un colector $M$ a través de su resolución por parte de la acíclicos complejo de formas diferenciales $\Omega_M^*$$M$.
La próxima historia de éxito para las poleas y sus cohomology era la prueba por Cartan y Serre de teoremas $A$ $B$ para Stein colectores, que resolver una serie de problemas difíciles (como el Primo que yo y Primo II) con la ayuda de las técnicas y los teoremas de Oka, que puede ser dicho , a posteriori, a la que implícitamente han introducido las poleas en el análisis complejo.
El alemán complejo analistas (Behnke, Stein, Thullen,...) que había hasta entonces, ser los amos del campo quedaron tan impresionados por la nueva cohomology técnicas que se han exclamado: "los franceses tienen tanques y hemos arcos y flechas!"
Armado con su profundo conocimiento de estas armas de complejo análisis de Serre tomó la increíblemente audaz paso de la introducción de las poleas y sus cohomology en variedades algebraicas dotado de su topología de Zariski.
Este fue de notable audacia debido a la tosquedad de la topología de Zariski, que había llevado a los especialistas a creer que fue sólo alguna de las más impresionante herramienta que permite, por ejemplo para hablar con rigor de las propiedades genéricas.
Como todos los algebraica de los geómetras ahora sé, Serre sorprendió a sus colegas de la muestra en la FAC cómo cohomological métodos produjo un profundo resultados, en el centro de los cuales son teoremas $A$ $B$ coherente poleas sobre afín variedades.
Otras novedades fundamentales obtenidos por Serre en la FAC son sus torsión poleas $\mathcal O(n)$, el cálculo de la cohomology coherente de las poleas en el espacio proyectivo, la desaparición de la cohomology grupos $H^q(V,\mathcal F(n))$ en una variedad proyectiva $V$$q\gt0, n\gt\gt 0$, ...
Último no menos importante: la introducción de las poleas y sus cohomology en FAC allanó el camino para Grothendieck revolucionario para la introducción de los planes en la geometría algebraica, tal como se reconoce en el prefacio de EGA.
En realidad, la lectura de la FAC fue la secundaria tesis de Grothendieck, acompañando a su tesis doctoral sobre las nucleares espacios en el análisis funcional.
Después de su Doctorado de la defensa, alguien (Cartan si recuerdo la anécdota correctamente) le dijo de buena humouredly que parecía no haber entendido mucho en FAC.
La historia va de que Grothendieck se despertó, invertido mucha energía en la comprensión de la Serre, y el resto es historia. Se non è vero, è ben trovato...
Gavilla cohomology es sólo la elaboración del siguiente problema:
usted tiene un espacio y una cubierta, y usted puede hacer algo que quieres en cada conjunto de la cubierta: se puede hacer en todo el espacio?
Esto ocurre en muchos lugares, desde el Primo problema en el análisis complejo para la construcción de las secciones de los haces de fibras para la unión de las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales que se pueden resolver a nivel local para muchos, muchos otros contextos.
En una manera, una vez que se encuentran atrapados en una situación en la que desea que la pieza de información local para obtener información global, que son más o menos condenados a desarrollar gavilla cohomology.
Hartshorne dice que cohomology fue introducido por primera vez en abstracto de la geometría algebraica por Serre en su Faisceaux Algebriques Coherents de papel (traducido al inglés por un amigo mío). La FAC dice
Sabemos que la cohomological métodos, en particular gavilla de la teoría, cada vez más papel no sólo en la teoría de varias variables complejas ([5]), pero también en clásicos de la geometría algebraica (permítanme recordar las recientes obras de Kodaira-Spencer en la de Riemann-Roch teorema). El carácter algebraico de estos métodos sugeridos que es posible aplicar también para abstracto de la geometría algebraica; la objetivo de este trabajo es demostrar que este es realmente el caso.
Por lo tanto, parece que el principal motivo fue el éxito general de homológica métodos en las distintas ramas de álgebra, topología y geometría compleja.
Para un problema específico que pidió para la correcta cohomology teoría, leer una discusión sobre las conjeturas de Weil en Hartshorne la "Geometría Algebraica".
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