Mi pregunta es una solicitud de referencia para el siguiente hecho: si $k$ es un campo y $X$ una superficie lisa adecuada sobre $k$ entonces $X \rightarrow \mathrm{Spec}\, k$ es proyectiva. ¿Dónde se demuestra este hecho bien conocido (en la generalidad indicada)?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Citando un artículo muy bueno de Stefan Schroeer tenemos: "El criterio de Zariski [3, Cor. 4, p. 328] nos dice que una superficie normal $Z$ es proyectivo si y sólo si el conjunto de puntos $z \in Z$ cuyo anillo local $\mathcal{O}_{Z,z}$ no es $\mathbf{Q}$ -factorial permite un vecindario abierto afín". La referencia [3] es la siguiente:
S. Kleiman: Hacia una teoría numérica de la amplitud. Anales de Matemáticas. 84 (1966), 293-344.
El papel de Stefan es aquí .
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El teorema 1.2.8 del libro de Badescu "Algebraic Surfaces" demuestra este teorema de Zariski--Goldman sobre cualquier campo algebraicamente cerrado, y el caso general se reduce a eso vía "norma de haces de líneas" u otras razones.
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Se dan varias referencias clásicas en II, §4, p. 105 del libro de Hartshorne.