¿Es posible mostrar que un conjunto infinito tiene un subconjunto contado (infinito), sin usar el Axioma de la elección?

Question

Deje que X sea un conjunto infinito. ¿Es posible mostrar la existencia de un subconjunto infinita de X sin usar el Axioma de la Elección?

Answer 1

Respuesta corta: No.

Por un subconjunto infinita que decir, supongo, que hay un mapa 1-1 de los números naturales en el conjunto.

Si ZF es coherente, entonces es consistente tener un conjunto amorfo, es decir, un conjunto infinito cuyos subconjuntos son todos finitos o tienen un complemento finito. Si tienes una incrustación de los números naturales en un conjunto, la imagen de los números pares es infinita y tiene un complemento infinito. Así que el conjunto no puede ser amorfo.

Answer 2

No. Un conjunto que tiene un subconjunto infinitamente se llama Dedekind-infinite. Claramente cada conjunto Dedekind-infinite es infinito; la afirmación de que cada conjunto infinito es Dedekind-infinite no es comprobable en ZF (suponiendo que ZF sea coherente, por supuesto). Usted no necesita aire acondicionado completo, sin embargo. De hecho, la equivalencia ni siquiera es tan fuerte como la elección contable.