Es bien sabido que la adición de un subconjunto de un cardinal regular $\kappa$ con funciones parciales de tamaño $< \kappa$ fuerzas $\Diamond_\kappa$ . También se puede ver que si $S \in V$ es un subconjunto estacionario de $\kappa$ entonces $Add(\kappa,1)$ también obliga a $\Diamond(S)$ . Pregunta: Si $G \subseteq Add(\kappa,1)$ es genérico, ¿obtenemos $\Diamond(S)$ para todos los estacionarios $S \in V[G]$ , $S \subseteq \kappa$ ?
Respuesta
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La respuesta es sí, y la construcción es esencialmente la misma que para $\diamondsuit$ . Dejemos que $\dot S$ sea un nombre para el conjunto estacionario, y defina una secuencia de diamantes $\langle A_\alpha\mid\alpha\in S\rangle$ como sigue: Sea $f$ sea el $Add(\kappa,1)$ función. Supongamos que $\alpha\in S$ . Entonces dejemos que $\gamma$ sea el menor de los casos, de manera que $f\upharpoonright\gamma\Vdash\alpha\in\dot S$ y que $A_\alpha=\{\nu<\alpha\mid f(\gamma+\nu)=1\}$ .
En respuesta al comentario $\dot C$ ser el nombre de un conjunto de clubes $C$ y $\dot x$ el nombre de un subconjunto de $\kappa$ . Sea $C'$ sea el conjunto de $\nu\in C$ tal que $f\upharpoonright\nu$ decide el valor de $\dot x\cap\nu$ y obliga a $\nu$ es un punto límite de $\dot C$ (y por lo tanto está en $\dot C$ ). Entonces es forzoso que $\dot C'$ es un club en $V[\dot f]$ por lo que existe un conjunto denso de $q$ de manera que, fijando $\eta=\operatorname{domain}(q)$ , $q\Vdash\eta\in\dot C'$ y $q$ no obliga a $\eta\notin\dot S$ . Entonces dejemos que $q'\le q$ ser de una longitud mínima que obligue a $\eta\in\dot S$ y que $q''$ sea $q'$ con el valor conocido de $\dot x\cap \eta$ tachuelas en el extremo. A continuación, $q''$ fuerzas que $\dot A_\eta= \dot x\cap\eta$ .
