Complemento de un subespacio que es un producto cartesiano

Question

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert y $U$ un subespacio cerrado de $H\times H$ . ¿Existen entonces subespacios cerrados $V$ y $W$ de $H$ tal que $H\times H = U \oplus (V\times W)$ ?

Ver también Perturbaciones de un operador que desconectan el espectro .

Answer 1

Permítanme ampliar mi comentario: la respuesta es sí, y en general $V$ y $W$ puede construirse de la siguiente manera: dejemos que $p_1,p_2:U \to H$ denotan las restricciones a $U$ de las dos proyecciones de coordenadas. Entonces $V$ es la imagen de la proyección espectral $1_{[0,1/2]}(p_1p_1^*)$ y $V$ es la imagen de la proyección espectral $1_{[0,1/2[}(p_2 p_2^*)$ (nótese que un intervalo está abierto en $1/2$ mientras que el otro está cerca). Se pueden sustituir los dos $1/2$ 's por $\delta$ y $1-\delta$ pero la elección de $\delta = 1/2$ da las mejores constantes.

Esta construcción es quizás más clara en el caso particular cuando $U$ es un gráfico (es decir $U \cap (\{0\} \times H) = \{0\}$ o, por el contrario $U = \{ (x,Tx),x \in D\}$ para un operador cerrado $T$ de dominio $D \subset H$ ). Entonces se puede reducir fácilmente al caso en que $T$ está densamente definida, y (utilizando la descomposición polar), $T$ es autoadjunto. Por el teorema espectral, podemos suponer que existe un espacio de medidas tal que $H = L^2(X,\mu)$ y $T$ es el operador de multiplicación por alguna función $f:X \to \mathbb R^+$ . Entonces $V$ (resp. $W$ ) es el espacio de funciones en $L^2(X,\mu)$ que son cero fuera de $I = f^{-1}([1,\infty[)$ (resp. $J = f^{-1}([0,1[) = X \setminus I$ ). Para $(a,b) \in H \times H$ la descomposición correspondiente en $U \oplus V \times W$ es entonces $(a 1_J + b/f 1_I , a f 1_J + b 1_I) + ((a-b/f)1_I,(b- a f)1_J)$ .