¿Por qué el radián es tan común en matemáticas?

Question

He aprendido sobre la correspondencia de radianes y grados, así que 360° grados equivale a $2\pi$ radianes. Ahora principalmente usamos radianes (integrales y demás)

Mi pregunta: ¿Es solo una convención matemática que los radianes se utilizan mucho más en matemáticas avanzadas que los grados o los radianes tienen alguna ventaja intrínseca sobre los grados?

Para mí personalmente no importa si escribo $\cos(360°)$ o $\cos(2\pi)$. Ambos son iguales a 1, entonces ¿por qué tener dos convenciones?

Answer 1

Las razones son principalmente las mismas que el hecho de que normalmente usemos la base $e$ en la exponenciación y el logaritmo. Los radianes son simplemente las unidades naturales para medir ángulos.

• La longitud de un segmento de círculo es $x\cdot r$, donde $x$ es la medida y $r$ es el radio, en lugar de $x\cdot r\cdot \pi/180$.
• La serie de potencias para el seno es simplemente $\sin(x)=\sum_{i=0}^\infty(-1)^i{x}^{2i+1}/(2i+1)!$, no $\sin(x)=\sum_{i=0}^\infty(-1)^i(x\cdot \pi/180)^{2i+1}/(2i+1)!$.
• La ecuación diferencial que satisface el $\sin$ (y $\cos$) es $f+f''=0$, no $f+f''\pi^2/(180)^2=0$.
• $\sin'=\cos$, no $\cos\cdot 180/\pi$.

Podrías agregar más y más a la lista, pero creo que el punto es claro.

Answer 2

A medida que enseño a mis estudiantes de trigonometría: "Los grados son inútiles".

¿Quieres saber la longitud de un arco circular? Es $r \theta$ donde $r$ es el radio del círculo y $\theta$ es el ángulo que subtiende en radianes. Si usas grados, obtendrás respuestas ridículas.

¿Quieres saber el área de un sector? Es $\frac{1}{2} r^2 \theta$, con $r$ y $\theta$ como arriba. De nuevo, si usas grados, obtendrás resultados ridículos.

Para realmente entender esto, avanza a cálculo y estudia la longitud de arco. La longitud de arco de la gráfica del círculo da resultados en radianes. O, mira la expansión de series de potencias de las funciones trigonométricas circulares: si usas radianes, todo funciona con pequeños coeficientes; si usas grados, potencias adicionales de $\frac{\pi}{180}$ se dispersan.

¿Para qué son buenos los grados? Para dividir círculos en un número par de partes. Eso es todo. Si quieres calcular algo, los grados son inútiles.

Answer 3

Los radianes surgen naturalmente cuando se observan algunos círculos (nota que son una unidad sin dimensiones). Por el contrario, el círculo completo de $360^\circ$ se debe a que alguien dividió el círculo en tantas piezas como días hay en el año (por alguna razón histórica esto resultó en $360$).

¿Por qué la gente piensa en radianes entonces? Mi suposición personal es que la razón es simplemente que a los matemáticos les gusta trabajar con cosas que son de alguna manera intrínsecas al objeto en cuestión.

Answer 4

Los radianes son la unidad natural de medida para los ángulos. No es una convención antropocéntrica. Los extraterrestres en el planeta Zog que hacen cálculos y resuelven problemas de física también entenderán la naturalidad de describir los ángulos en radianes.

Como se mencionó anteriormente, el ángulo, expresado en radianes, es la cantidad de arco circular barrido por el ángulo dividido por el radio del brazo con ambas longitudes expresadas en las mismas unidades. Por lo tanto, los radianes no tienen dimensiones. Son solo un número. Sin unidades.

Si tienes una rueda de radio $r$ en una superficie sin deslizamiento, la distancia que la rueda se mueve en la superficie $x$ es igual al ángulo girado, $\theta$ (en radianes) multiplicado por el radio del círculo del borde exterior de la rueda, $r$.

$$ x = r \cdot \theta $$

Si la rueda (de radio $r$) está girando a una velocidad de $\omega = \frac{\text{d} \theta}{\text{d} t}$, la velocidad a la que se mueve la rueda en relación con la superficie es $$v = \frac{\text{d} x}{\text{d} t} = r \cdot \omega \ .$$

Si el ángulo se midiera de cualquier otra manera, serían necesarias constantes de proporcionalidad para que esas ecuaciones fueran verdaderas, pero esas constantes de proporcionalidad son iguales a 1 (y desaparecen) si el ángulo se mide en radianes.

Los radianes son tan naturales para los ángulos como lo es $e \ \approx \ $ 2.718281828... como base para los logaritmos y exponenciales en cálculo. La ecuación de Euler

$$ e^{i \theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta) $$

necesitaría más constantes de proporcionalidad desagradables si la base no fuera $e$ o el ángulo $\theta$ no estuviera en radianes.

Por lo tanto, es lo opuesto a la convención humana que en cálculo la medida de los ángulos se exprese en términos de radianes.

Answer 5

Los grados son un error de la historia (sin mencionar los minutos y segundos). La división en cuatro cuadrantes de noventa grados es bastante arbitraria e inconveniente, pero por una cosa: permite una representación fácil de los ángulos notables, $30°$ y $45°$. En este sentido, es un poco mejor que las subdivisiones $4\times100$ en grados.

Como explican muchos otros, los radianes son una unidad natural ya que evitan un factor constante al tomar derivadas y hacen que las fórmulas para la longitud del arco o el área del sector sean las más simples.

En mi opinión, la oportunidad de usar una alternativa interesante ha desaparecido para siempre: la revolución. Contar ángulos en revoluciones es bastante conveniente ya que puedes manejarlos módulo $1$, es decir, simplemente usando la descomposición en parte entera y fraccional.