Teorema de Rellich del resolvente compacto

Question

En una variedad Riemanniana compacta, sabemos que el Laplaciano $\Delta$ tiene un resolvente compacto. I $H^1(M)$ en $L^2(M)$ . Me preguntaba si es posible invertir los papeles, es decir, utilizar la compacidad del resolvente $(1 - \Delta)^{-1}$ como un hecho conocido, y utilizarlo para demostrar el teorema de incrustación de Rellich. Cualquier ayuda será apreciada. Una referencia también estaría bien. Gracias.

Answer 1

Si asumimos un poco más, es decir, que $1-\Delta$ es (esencialmente) autoadjunto, y denotamos por $A$ su extensión autoadjunta, entonces podemos definir el espacio de Sobolev $H^s(M)$ , $s\geq 0$ como el dominio de $A^{s/2}$ equipado con la norma del gráfico. La compacidad de las incrustaciones $H^s\to H^t$ , $s>t$ se deduce de la compacidad de los operadores $A^{-r}$ , $r>0$ .

Este es un caso especial de la construcción de interpolación y me remito al famoso artículo de Lions-Peetre

Sobre una clase de espacios de interpolación IHES Publ. Matemáticas.., 19 (1964), 5-68.

Answer 2

De la condición sobre el resolvente se deduce inmediatamente que $\Delta$ tiene un espectro discreto con valores propios que van al infinito. Entonces se puede utilizar la onb de los vectores propios para mostrar $L^2$ como $\ell^2$ -espacio y $H^1$ como una versión ponderada de la misma de la que se deduce inmediatamente la compacidad.