Es Teorema de Gabriel sobre los indecomponibles de representaciones de quivers de tipo finito verdaderos sobre un anillo conmutativo, es decir, no necesariamente un campo?
Respuesta
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Ciertamente, no se generaliza de una manera realmente obvia. Una forma de pensar en esto es la siguiente: El teorema de Gabriel utiliza de forma realmente profunda que la categoría de representaciones de carcaj sobre un campo es hereditaria (en particular, $\mathrm{Ext}^2(M,N)=0$ para cualquier representación). Sobre un anillo conmutativo arbitrario, esto es falso, y así muchas cosas se van por la ventana. Por ejemplo, mi prueba preferida del teorema de Gabriel está en las notas de Crawley-Boevey ( http://www1.maths.leeds.ac.uk/~pmtwc/quivlecs.pdf ); quizás el lema más importante es que un carcaj de Dynkin no puede tener representaciones de carcaj indescomponibles que tengan automorfismos que no sean escalares, ni autoextensiones. Por supuesto, esto es totalmente falso en un anillo no simétrico.
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¿Podría dar un enunciado preciso del teorema?
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Las representaciones del carcaj más sencillo con un solo vértice y sin aristas sobre un anillo $R$ son los mismos que $R$ módulos. Entonces este carcaj es de tipo finito si $R$ tiene un número finito de módulos indecomponibles. Una buena pregunta es si la clasificación de quivers de tipo finito para tales anillos es la misma que el teorema de Gabriel.
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Se podría intentar enunciar el teorema de tal manera que permitiéramos un número infinito de indecomponibles, pero que el infinito "viniera de R" en lugar del carcaj. Otra forma de dar sentido a este teorema de forma más general sería considerar subcategorías de la categoría de módulos completa como la categoría de $R\Lambda$ -que son f.g. proyectivos como $R$ -módulos.
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Buen punto, Mostafa. Estaré encantado de obtener cualquier resultado con las hipótesis que quieras sobre el anillo, ya que estoy seguro de que mi aplicación prevista las satisfará. Para Dag Oskar Madsen, me refiero al teorema de que un carcaj tiene un número finito de clases de isomorfismo de representaciones indecomponibles si su gráfico subyacente es un diagrama de Dynkin de encaje simple, y que éstas se corresponden con raíces positivas.
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@Mostafa La respuesta corta es no . Ya el carcaj $A_2$ crea problemas. Las representaciones sobre $A_2$ son equivalentes a módulos sobre el anillo de matrices triangulares de 2x2 sobre $R$ . Para $R=\mathbb Z/(p^n)$ con $n \geq 4$ esto es de tipo de representación infinita, véase blms.oxfordjournals.org/content/3/3/333.extract