¿Singularidades cocientes sin resolución crepuscular?

Question

Leí que en la dimensión $\geq 4$ hay singularidades abelianas de Gorenstein que no tienen resoluciones crepantes. ¿Cuál es el ejemplo más sencillo? Imagino que debe haber ejemplos tóricos. ¿Será que el cono no admite una subdivisión adecuada en conos simpliciales, correspondiente a una resolución crepante? En sus respuestas, tenga en cuenta que sólo soy un geómetra algebraico aficionado, pero conozco algo de geometría tórica.

Answer 1

[ EDITAR: prueba añadida de que $\mathbb Q$ -factorialidad implica que el conjunto excepcional de cualquier resolución es un divisor].

Definición Una variedad se llama $\mathbb Q$ -factorial si todo divisor de Weil en ella es $\mathbb Q$ -Cartier, es decir, algún múltiplo del mismo es un divisor de Cartier.

La afirmación general que podría querer es que

Reclamación A $\mathbb Q$ -factorial, la singularidad terminal no admite una resolución crepuscular no trivial.

Prueba $\mathbb Q$ -factorialidad implica que el conjunto excepcional de cualquier resolución es un divisor, y ser terminal implica que todas las discrepancias son positivas. $\square$

Nota: Se podría pensar que una singularidad terminal de Gorenstein no admite una resolución crepante no trivial. He aquí un ejemplo de que esto no es cierto. Consideremos un cono sobre una superficie cuádrica lisa en $\mathbb P^3$ . Se trata de una hipersuperficie en $\mathbb A^4$ así que es claramente Gorenstein. La voladura del vértice y un simple cálculo mediante la adjunción muestran que se trata de una singularidad terminal. Sin embargo, al volar un divisor que es un cono sobre una línea en la superficie cuádrica se obtiene una pequeña resolución que será crepante al ser un isomorfismo en codimensión $1$ . Esto demuestra que es necesario añadir el $\mathbb Q$ -condición de factorialidad para lo anterior Reclamación .

-

Ejemplo Para el ejemplo de la respuesta de Jim Bryan, $\mathbb C^4/\pm$ o más generalmente, $\mathbb C^{m}/\pm$ El punto a notar es que esto es sólo el cono sobre la incrustación veronesa de $\mathbb P^{m-1}$ . Las singularidades aisladas del cociente son $\mathbb Q$ -y un cálculo sencillo muestra que la discrepancia del único divisor excepcional de la explosión del vértice es $\dfrac m2-1$ . Esto implica que es terminal en cuanto $m>2$ pero para $m$ impar no será Gorenstein, por lo que el primer ejemplo del tipo deseado es para $m=4$ .

Apéndice Aquí hay una prueba de que $\mathbb Q$ -factorialidad implica que el conjunto excepcional de cualquier resolución es un divisor:

Reclamación Dejemos que $X$ ser un $\mathbb Q$ -variedad factorial y $f:Y\to X$ un morfismo propio biracional. Sea $E=\mathrm{Exc}(f)$ denotan la excepcionalidad set de $f$ es decir, el mayor subconjunto (cerrado) de $Y$ tal que $f|_{Y\setminus E}:Y\setminus E\to X\setminus f(E)$ es un isomorfismo. Entonces $E$ es de codimensión pura $1$ en $Y$ .

Prueba Dejemos que $y\in E$ y supongamos que $\mathrm{codim}_YE\geq 2$ en un barrio de $y$ . Sea $C\subseteq E$ sea una curva propia arbitraria tal que $f(C)$ es un punto y $y\in C$ y que $H\subseteq Y$ sea un divisor efectivo tal que $y\in H$ pero $C\not\subseteq H$ . Esto implica que $H\cdot C>0$ . Consideremos el divisor de Weil(!) $f_*H$ en $X$ (el empuje hacia adelante se entiende como un ciclo). Como $X$ es $\mathbb Q$ -factorial, algún múltiplo de $f_*H$ será de Cartier, por lo que la sustitución de $H$ con ese múltiplo podemos suponer que en realidad $f_*H$ es Cartier. Entonces tiene sentido tirar hacia atrás (como divisor de Cartier). Así obtenemos un divisor (de Cartier) $f^*f_*H$ que está de acuerdo con $H$ en $Y\setminus E$ . En particular, si $\mathrm{codim}_YE\geq 2$ en un barrio $U$ de $y$ entonces $H|_U=(f^*f_*H)|_U$ . Ahora, por la construcción $y\in C\cap U\neq\emptyset$ Así que a lo largo de $C$ , $f^*f_*H=H+F$ donde $F$ es un divisor efectivo (excepcional) que no contiene $C$ . Finalmente, esto lleva a una contradicción, porque obtenemos que $$ 0=f^*f_*H\cdot C \geq H\cdot C>0$$ desde $f(C)$ es un punto.

Answer 2

El ejemplo más sencillo es $\mathbb{C}^4/\pm1$ donde $-1$ actúa en diagonal. Estoy seguro de que hay una prueba elemental de que esto no tiene una resolución crepuscular, tal vez a través de la geometría tórica. Alguien en MO podría conocer una referencia. La prueba que conozco utiliza un resultado de Yasuda que dice que si $X$ es un orbifold de Gorenstein y $Y\to X$ es una resolución crepitante, entonces $H^*_{orb}(X) = H^*(Y)$ como espacios vectoriales graduados. En el caso que nos ocupa, esto implicaría que la fibra excepcional de una resolución crepante $Y\to \mathbb{C}^4/\pm1$ tendría cohomología en grado 0 y en grado 4 solamente, lo que es imposible para una variedad proyectiva.

Answer 3

Hay una bonita descripción explícita, en este documento de Morrison y Stevens de singularidades cíclicas cuatridimensionales cotizadas que son Gorenstein y terminales (cf. esta pregunta del modus operandi ---terminal implica la inexistencia de resoluciones crepitantes).