¿Es la aditividad sigma de la medida de Lebesgue deducible de ZF?

Question

¿Es sigma-aditividad (aditividad contable) de la medida de Lebesgue (digamos en subconjuntos medibles de la línea real) deducible de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (sin el axioma de elección)?

Nota 1. Pregunta de seguimiento: el libro de Jech de 1973 sobre el axioma de la elección parece citarse como la fuente del modelo Feferman-Levy. ¿Puede esto tener su origen en el trabajo de Feferman y imponerse? ¿Son estos S. Feferman y A. Levy?

Answer 1

Esto depende exactamente de cómo defina la medida de Lebesgue, ya que algunas definiciones incorporan aditividad contable. Sin embargo, existe un modelo de ZF, el modelo Feferman-Levy, donde$\mathbb{R}$ es una unión contable de conjuntos contables que asegura que cualquier medida aditiva contable sobre$\mathbb{R}$ tiene que ser trivial.