Cómo criar a -1 a potencias no entero

Question

Cómo calculas el $(-1)^x$ $x$ Dónde está algún número real. Por ejemplo, qué es $(-1)^{\sqrt{5}}$. Esta pregunta vino como estaba tratando de equipo $e^{i\pi a}$ $a$ Dónde está irracional.

Answer 1

He utilizado con mucho éxito en la página 7 de http://zakuski.utsa.edu/~jagy/papers/Intelligencer_1995.pdf

Un valor es $$ (-1)^x = \cos \pi x + i \sin \pi x $$

Eso fue suficiente para que mi artículo, ya que este número complejo puede ser utilizado en Gelfond-Schneider. La conclusión es que, si $x$ es real, irracional, pero algebraicas, entonces $\cos \pi x + i \sin \pi x$ es trascendental. He utilizado una versión posible de un contrapositivo: tenía tanto (real) $x$ $\cos \pi x + i \sin \pi x$ algebraicas, por lo tanto, $x$ era racional.

Nota, sin embargo, que hay countably infinito logaritmos de $(-1),$, por lo que hay countably infinito diferentes valores de $(-1)^x.$ Eso es sólo la vida.

Answer 2

En general, para los números complejos (con $a \ne 0$) $a^b$ se define como el $e^{b \log(a)}$. Sin embargo, $\log(a)$ es una función de varios valores y por lo tanto así $a^b$.

Answer 3

En general, $$e^{it}=\cos t+ i\sin t$ $ esto se conoce como fórmula de Euler. Si aplica a su ejemplo, nos $$(-1)^{\sqrt{5}}=\cos(\pi\sqrt 5)+i\sin(\pi \sqrt 5)$ $ desde $-1$ tiene otras representaciones como $e$ a algún poder (podemos agregar cualquier múltiplo de $2\pi i$ a su exponente), otros números podrían también llamarse $(-1)^{\sqrt{5}}$, por lo que es mejor trabajar con $e^{i\pi\alpha}$.