¿Cuál es la derivada de una función de la forma$u(x)^{v(x)}$?

Question

Así que tengo un dato digamos $(x+1)^{2x}$ además de $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}a^u=a^u\log(a)u'$ . Todavía tengo que multiplicar esto por la derivada de la función interna $x+1$ ¿correcto?

Answer 1

Dado que $(x+1)^{2x}=e^{2x\ln(x+1)}=e^{u(x)}$ , su derivada es $u'(x)e^{u(x)}$ . Observe que si $a:I\longrightarrow\mathbb{R}^{+*}$ y $b:I\longrightarrow\mathbb{R}$ , entonces definimos $a(x)^{b(x)}$ como $e^{b(x)\ln a(x)}$ para todos los $x\in I$

Answer 2

Todo eso $a^u$ funciona cuando $a$ es una constante, no otra expresión en términos de $x$ .

Para tomar la derivada de esto, tendría que convertirlo a $\displaystyle e^{2x\ln(x+1)}$ y ENTONCES usar la Regla de la cadena.

Esto sería $\displaystyle e^{2x\ln(x+1)}\left(2\ln(x+1)+\frac{2x}{x+1}\right)=(x+1)^{2x}\left(2\ln(x+1)+\frac{2x}{x+1}\right)$