Dependencia e independencia lineal

Question

He intentado buscar en la literatura un resultado como el siguiente, pero no he encontrado nada.

Para un entero positivo$m$, ¿se sabe que PS es linealmente independiente de los racionales?

Las referencias o una prueba serán muy apreciadas.

Answer 1

PS Esto puede obtenerse multiplicando$$\sin \frac{5\pi}{36}+\sin \frac{7\pi}{36}-\sin \frac{17\pi}{36}=0.$ por$2\sin\frac{\pi}6-1=0$.

Answer 2

Tenemos PS y el último, que denota$$\sin\frac{\pi}{9}+\sin\frac{2\pi}9-\sin\frac{4\pi}9=\sin\frac{2\pi}{18}+\sin\frac{4\pi}{18}-\sin\frac{8\pi}{18}=\sin\frac{2\pi}{18}-\sin\frac{8\pi}{18}+\sin\frac{14\pi}{18},$, es la parte imaginaria de$\xi_{18}=\exp\frac{2\pi i}{18}$ $ Por tanto, tu conjetura es incorrecta.