Teorema ergódico de Birkhoff y la medida de los puntos malos

Question

En el teorema ergódico de Birkhoff tenemos un PMPS$(X,B,\mu,T)$ y que para cualquier$f\in L^1(X,\mu)$$\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}f(T^n x)\to \int f \, d\mu,$ en medida, en$L^1$ - norma y$\mu$ - ae Mi pregunta es: ¿cuál es, dada$\epsilon>0,$ la estimación de$\mu\left(x:\left|\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}f(T^n x)-\int f \, d\mu\right|>\epsilon\right)$ cuando$N\in \mathbb{N}$ es grande? Estoy buscando una prueba o referencia que aún no he encontrado.