He leído un par de pruebas que $\sqrt{2}$ es irracional.
Nunca lo he hecho, sin embargo, ha sido capaz de realmente comprender lo que estaban hablando.
Existe una versión simplificada de la prueba de que $\sqrt{2}$ es irracional?
Respuestas
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Utilice una prueba por contradicción. Básicamente, usted suponga que $\sqrt{2}$ puede ser escrito como $p/p$. Entonces usted sabe que $2t^2 = p^2$. Sin embargo, tanto $p^2$ y $p^2$ tiene un número par de factores de dos, por lo que $2t^2$ tiene un número impar de factores de 2, lo que significa que no puede ser igual a $p^2$.
Alex Bolotov
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249
Otro método es el uso de fracciones continuas (que fue utilizado en una de las primeras pruebas de la irracionalidad de $\displaystyle \pi$).
En lugar de $\displaystyle \sqrt{2}$, vamos a considerar $\displaystyle 1 + \sqrt{2}$.
Ahora $\displaystyle v = 1 + \sqrt{2}$ satisface
$$v^2 - 2v - 1 = 0$$
yo.e
$$v = 2 + \frac{1}{v}$$
Esto nos lleva a la siguiente continuó la fracción de representación
$A$1 + \sqrt{2} = 2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \dots}}$$
Cualquier número con un infinito simple continuación de la fracción es irracional y cualquier número con un número finito de simple continuación de la fracción es racional y tiene más de dos simples continuó fracción representaciones.
Por lo tanto se deduce que $\displaystyle 1 + \sqrt{2}$ es irracional, y por lo que $\displaystyle \sqrt{2}$ es irracional.
Ejercicio: Demostrar que la Proporción áurea es irracional.
Más información aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction
Kristopher Johnson
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Si $\sqrt 2$ era racional, podríamos escribir como una fracción $/b$ en términos mínimos. Entonces $$a^2 = 2 b^2.$$ Mira el último dígito de $a^2$. Tiene que ser $0$, $1$, $4$, $5$, $6$ o $9$. Ahora mira el último dígito de $2b^2$. Tiene que ser de $0$, $2$ o $8$. Como $a^2$ y $2b^2$ son el mismo número, su último dígito debe ser de $0$. Pero eso sólo es posible si $a$ termina en $0$ y $b$ termina en $0$ o $5$. De cualquier manera, tanto $a$ y $b$ son múltiplos de $5$ contradiciendo $/b$ siendo en términos mínimos.
Mat
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2512
Considere la posibilidad de esta prueba por contradicción:
Suponga que $\sqrt{2}$ es racional. Entonces existe algunos racional de $R=\sqrt{2}=\frac{Q}{D}$, donde $P$ y $$ D son enteros positivos y relativamente primos (desde $R$ puede ser expresado en forma simplificada).
Ahora considere $R^2 = 2 = \frac{P^2}{D^2}$. Desde $P$ y $D$ son relativamente primos, esto significa que sólo $P^2$ $2$ en su primer descomposición, y el exponente debe ser uno. Por lo tanto, $P^2 = 2^1 x$, para algún entero impar de $x$. Pero $P^2$ es un cuadrado, y por lo tanto los exponentes de todos sus factores primos tiene que ser uniforme. Aquí tenemos una contradicción.
Por lo tanto, $\sqrt{2}$ debe ser irracional.
David HAust
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La continuación de la fracción de la prueba en Aryabhata la respuesta puede ser modificado en una forma elemental, que no requiere de conocimientos de fracciones continuas. A continuación es una variante de esos que John Conway (JHC) menciona a menudo, seguido por mi (WGD) reinterpretación de destacar el papel clave desempeñado por el principado de (denominador) ideales en $\:\mathbb Z\:$ (a los que llamo único fractionization).
TEOREMA (JHC) $\quad \rm r = \sqrt{n}\ \:$ es integral si racional,$\:$$\: \rm n\in\mathbb{N}$
Prueba $ \ \ \ $ $ \ \ \displaystyle\rm r = \frac{A}B ,\;$ menos $\rm\; B>0\:.\;$ $\ \displaystyle\rm\sqrt{n}\; = \frac{n}{\sqrt{n}} \ \Rightarrow\ \frac{A}B = \frac{nB}A.\ \:$ Tomando partes fraccionarias de los rendimientos de $\rm\displaystyle\ \frac{b}B = \frac{a}\ $ $\rm\ 0 \le b < B\:.\ $ Pero $\rm\displaystyle\ B\nmid Un\ \Rightarrow\:\ b\ne 0\ \:\Rightarrow\ \frac{A}B = \frac{a}b\ $ contra $\rm B $ menos. $\:$ QED
La abstracción de la Euclidiana descenso en el corazón de la anterior prueba produce los siguientes
TEOREMA (WGD) $\quad \rm r = \sqrt{n}\ \:$ es integral si racional,$\:$$\: \rm n\in\mathbb{N}$
Prueba $ \ \ $ $ \ \ \displaystyle\rm r = \frac{A}B ,\;$ menos $\rm\; B>0\:.\;$ $\ \displaystyle\rm\sqrt{n}\; = \frac{n}{\sqrt{n}} \ \Rightarrow\ \frac{A}B = \frac{nB}\ \Rightarrow\ B\:|\:\ $ por este resultado clave:
Único Fractionization $ \ $ $ $ El mínimo denominador $\rm\:B\:$ de una fracción se divide cada denominador.
Prueba $\rm\displaystyle\ \ \frac{A}B = \frac{C}D\ \Rightarrow\ \frac{D}B = \frac{C}\:. \ $ Tomando partes fraccionarias $\rm\displaystyle\ \frac{b}B = \frac{a}\ $ donde $\rm\ 0 \le b < B\:.\ $ Pero
$\rm\displaystyle\ \:B\nmid D\ \Rightarrow\ b\ne 0\ \Rightarrow\ \frac{A}B = \frac{a}b\ \ $ contra leastness de $\rm\:B\:.\quad\quad $ QED
Por lo tanto JHC prueba esencialmente "inline" la anterior prueba que es mejor visto como principado de (denominador) ideales en $\mathbb Z\:,$ cf. mi post aquí. Ver también este sci.matemáticas debate entre John Conway y yo (haga clic en "texto plano" para conseguir el formato correcto).
