Demostración elemental de un caso especial del teorema de la densidad de Chebotarev

Question

Un caso especial del teorema de la densidad de Cheboratev establece que, para $K/\mathbb{Q}$ un campo numérico de Galois de grado $n$ entonces los primos racionales que se dividen completamente en $K$ tienen densidad $1/n$ .

¿Existe alguna prueba elemental de este hecho?

En realidad lo pregunto sólo para aplicarlo a $K=\mathbb{Q}(\zeta_n)$ y se obtiene que la densidad es distinta de cero, y existe una prueba elemental de ello. Sin embargo, también estoy interesado en el resultado más general.

Answer 1

Existe una demostración elemental, y se da en muchos libros de teoría algebraica de números. Creo que está en el libro de Lang. Reproduzco la prueba a continuación.

Considere $ \zeta _K(s)=\prod _{\mathfrak p}(1-\frac{1}{(N\mathfrak p)^{s}})^{-1}$ donde $\mathfrak p$ recorre todos los ideales primos del anillo de enteros en $K$ . Por lo tanto,

$$\log (\zeta _K(s))=\sum _{\mathfrak p}\sum _ {m\geq 1} \frac{1}{m(N\mathfrak p)^{ms}}$$

Desde $\zeta _K(s)=\frac{1}{s-1}(a_0+a_1(s-1)+\cdots)$ con $a_0\neq 0$ se deduce que $\frac{\log (\zeta _K(s))}{\log \frac{1}{s-1}}$ tiende a $1$ como $s$ tiende a $1$ desde la derecha. Por otra parte, en este límite, sólo el término $m=1$ y $\mathfrak p$ de grado uno sobre $\mathbb Q$ deben tenerse en cuenta. Por lo tanto, obtenemos $$1= \lim _{s \rightarrow 1} \frac{\sum _{\mathfrak p} \frac{1}{(N\mathfrak p) ^s}}{\log \frac{1}{s-1}}.$$ Ahora, el grado $1$ primos $\mathfrak p$ sobre primos racionales $p$ que se dividió completamente en $K$ y sobre cada $p$ hay $n=\deg(K/{\mathbb Q})$ primos $\mathfrak p$ de grado $1$ . Por lo tanto, obtenemos

$$1=\lim _{s\rightarrow 1} n\left( \frac{\sum _p \frac{1}{p^s}}{\log \frac{1}{s-1}}\right)$$ donde la suma es sobre primos $p$ que se dividió por completo. Esto da lo que quieres.