Una curva de Peano es un mapa continuo$[0,1]\to [0,1]^2$ cuya imagen es el cuadrado completo.
Me gustaría saber si se pueden obtener curvas de Peano "holomórficas". Es decir, ¿es posible encontrar un mapa continuo$\phi$ desde el disco de la unidad$|z|\le 1$ a$\mathbb C^1$ tal que $\phi$ es holomórfico para$|z|<1$ y la imagen del límite$|z|=1$ tiene un interior no vacío en$\mathbb C^1$ debajo del mapa$\phi$.
Definir$$\phi(z):=\frac{1}{2\pi i}\int_{S^1}(\zeta-z)^{-1}\cdot \varphi(\zeta)d\zeta$ $
para$|z|<1$, donde$\varphi: S^1\to\mathbb{C}$ es una curva de Peano (es decir, su imagen no tiene el interior vacío) y$\phi(z):=\varphi(z)$ para$z\in S^1$. [ Editar : esta construcción no funciona porque$\phi$, como la definí, puede no ser continua hasta el límite - ver los comentarios]
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