¿Se pueden tener muchos reales independientes?

Question

Trabajar en $\sf ZFC$ ¿es demostrable, o al menos coherente (digamos, sobre $L$ ), que tiene $\aleph_1$ forzamientos, $\Bbb P_\alpha$ tal que:

1. $\Bbb P_\alpha$ es c.c.c.
2. $\Bbb P_\alpha$ añade un real que determina el genérico.
3. Para cada $A\subseteq\omega_1$ y $\alpha\notin A$ el producto de soporte finito $\prod_{\beta\in A}\Bbb P_\beta$ no añade un $V$ -genérico real para $\Bbb P_\alpha$ ?

Answer 1

Primero añada $\omega_1$ reales de Cohen, luego particionar este conjunto de reales de Cohen en $\omega_1$ conjuntos disjuntos $A_i$ cada uno de tamaño $\omega_1$ . Sea $P_i$ sea un forzamiento centrado en sigma cuyo genérico es un real que codifica un conjunto exiguo que cubre $A_i$ . Entonces, es fácil comprobar que la familia $\{P_i : i < \omega_1\}$ es el requerido.

Algunos detalles: Dejemos que $p \in Q_i$ si $p = (F, \overline{n} = \langle n_k : k \leq N \rangle, \overline{\sigma} = \langle \sigma_k : k < N \rangle)$ donde $F$ es un subconjunto finito de $A_i$ , $n_0 = 0, n_k \in \omega$ están aumentando y $\sigma_k \in 2^{[n_k, n_{k+1})}$ , $q \leq p$ si $F_p \subseteq F_q$ , $\overline{\sigma}_q, \overline{n}_q$ ampliar $\overline{\sigma}_p, \overline{n}_p$ y para cada $x \in F_p$ cada nueva cadena $\sigma$ de $\overline{\sigma}_q$ , $x$ no está de acuerdo con $\sigma$ en alguna parte. $Q_i$ está centrada en sigma y añade un real, a saber $\bigcup \{\overline{\sigma}_p : p \in G_{Q_i}\}$ codificando un escaso conjunto que cubre $A_i$ . Sea $P_i$ sea la subálgebra completa de $Q_i$ generado por este real. Nótese ahora que si $y$ es cualquier in $\prod \{P_i : i \neq i_0\}$ entonces el escaso conjunto codificado por $y$ no puede cubrir $A_{i_0}$ - de hecho ninguno de los reales en $A_{i_0}$ está cubierto. Las cláusulas 1 y 2 son obvias.