cómo determinar si un ideal es primo o no mediante un algoritmo

Question

Polinomios dados $f_{1},\cdots,f_{n}\in \mathbb{C}[x_{1},\cdots,x_{m}]$ ¿tenemos un algoritmo para determinar si el ideal $I=(f_{1},\cdots,f_{n})$ ¿es el primer ideal o no? Por supuesto, suponemos que los polinomios son irreducibles.

Answer 1

Dejemos que $R$ sea un anillo noetheriano y sea $I$ sea un ideal en $R[x]$ . Entonces se dan los siguientes hechos:

• $I$ es primo en $R[x]$ $\Longleftrightarrow$ $I\cap R$ es primo en $R$ y $\overline{I}$ es primo en $R/(R\cap I)$ .

• Si $R$ es un dominio integral y $I \cap R=0$ entonces $I$ es primo en $R[x]$
  $\Longleftrightarrow$ $I K[x]$ es primo en $K[x]$ y $I=IK[x] \cap K[x]$ . Aquí $K$ denota el campo de fracciones de $R$ .

Utilizando lo anterior para eliminar sucesivamente las variables, esto demuestra que se puede reducir el problema de la comprobación de la primialidad al caso de una sola variable, donde se conocen muchos métodos eficientes. Creo que así es también como funcionan las bases de Grobner, ya que éstas pueden calcular algorítmicamente los ideales de eliminación anteriores.

Answer 2

Hay una prueba de este tipo. Se puede encontrar alguna explicación en: "An introduction to Gröbner bases, By William Wells Adams, Philippe Loustaunau", o el artículo original ( http://portal.acm.org/citation.cfm?id=65034 ) en el que se basa el texto anterior. Véase también el manual singular .

Answer 3

¿Has mirado en "A Singular Introduction to Commutative Algebra"?

Answer 4

El algoritmo de Buchberger debería servir, el F4 de Faugere también lo es. Sin embargo, esto es en general para cualquier ideal y no necesariamente para irreducibles. ¿Es algo específico de los polinomios irreducibles lo que estás buscando?