producto es dos veces un cuadrado

Question

Para cada entero positivo $n$, existe un conjunto de $S\subset \{n^2+1,n^2+2,\dotsc,(n+1)^2-1\}$, que

$$\prod_{k\in S}k=2m^2$$

para algún entero positivo $m$

No tengo ninguna pista sobre él. ¿Alguien me podría ayudar? Muchas gracias.

p.s. Si o no el problema era una conclusión de un papel se desconoce.

Answer 1

Granville y Selfridge, producto de números enteros en un intervalo, modulo plazas: "Se demuestra una conjetura de Irving Kaplansky que afirma que entre cualquier par de cuadrados positivos consecutivos es un conjunto de distintos números enteros cuyo producto es dos veces un cuadrado".

Los detalles son a diario electrónico de combinatoria, volumen 8.1, 2001.

Está disponible en http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/selfridge.pdf

Answer 2

Considerar (como Hugh Denoncourt hizo en su eliminados respuesta) el espacio vectorial $V$ ${\mathbb F}_2$ con base correspondiente a los factores primos $p_1, \ldots, p_N$ de $n^2 + 1, \ldots, (n+1)^2 - 1$. El número de $N$ de tales factores primos es OEIS secuencia A143346. Parece que $N$ es de aproximadamente $1.52 n$ grandes $n$, y está a menos de $2n$ $6 < n \le 10000$ (el máximo) $n$ en el fichero de datos). Presumiblemente, esto es cierto para todos los $n > 6$. Deje $v(k) = [\alpha_1, \ldots, \alpha_N] \mod 2$ donde $k = p_1^{\alpha_1} \ldots p_N^{\alpha_N}$. Ahora la pregunta es si $[1,0,\ldots,0]$ está en el lineal lapso de $v(n^2+1), \ldots, v((n+1)^2-1)$. De hecho, parece que este lineales intervalo es el conjunto de vectores espacio de $V$. Que es verdadera para al menos todas las $n \le 200$.