¿Cuándo $\mbox{tr} \left( A^2 \right) = \mbox{tr} (A)^2$ ¿se mantiene?

Question

Supongamos que $A$ es una matriz cuadrada cuyos valores propios son $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ . La ecuación

$$\mbox{tr} \left( A^2 \right) = \mbox{tr} (A)^2$$

implica que $$\sum_{i\not=j}\lambda_i\lambda_j=0$$

¿Qué podemos aprender sobre la matriz $A$ de la ecuación anterior? ¿Qué tipo de matriz tiene esta propiedad?

Answer 1

El caso particular $n=2$ tiene una bonita prueba específica.

Como la ecuación característica de $A$ puede escribirse bajo la forma

$$\lambda^2- \operatorname{tr}(A)\lambda +\det(A)=0,$$

El teorema de Cayley-Hamilton da

$$A^2-\operatorname{tr}(A) A +\det(A)I=0.$$

Tomar la traza (operador lineal) :

$$\operatorname{tr}(A^2)-\operatorname{tr}(A)^2=-2\det(A)$$

Por lo tanto, la cuestión es simplemente buscar matrices con determinante cero, es decir, matrices tales que $\lambda_1\lambda_2=0$ .

Ver este excelente documento por Darij Grinberg.

Ver también : ( https://math.stackexchange.com/q/1267700. )

Answer 2

En realidad se trata más de una pregunta sobre colecciones de números que sobre álgebra lineal.

Como usted sabe, $\operatorname{tr}A=\sum_i\lambda_i$ y $\operatorname{tr}A^2=\sum_i\lambda_i^2$ . Sea $\mu=\frac1n\sum_i\lambda_i$ y $\sigma^2=\left(\frac1n\sum_i\lambda_i^2\right)-\mu^2$ sean la media y la varianza de los valores propios. (Esta última es en realidad la pseudovarianza si los valores propios son complejos). Entonces, $\operatorname{tr}A=n\mu$ y $\operatorname{tr}A^2=n(\mu^2+\sigma^2)$ . Así que $(\operatorname{tr}A)^2=\operatorname{tr}A^2$ si y sólo si $n\mu^2=\mu^2+\sigma^2$ es decir $$\mu=\pm\frac\sigma{\sqrt{n-1}}.$$

A mí no me parece que esta propiedad tenga nada de especial. Para cualquier matriz $A$ se puede añadir un múltiplo escalar de la identidad para obtener una matriz que la satisfaga, es decir $\operatorname{tr}^2(A+kI)=\operatorname{tr}(A+kI)^2$ para $k=\pm\sigma/\sqrt{n-1}-\mu$ .

Answer 3

$\textbf{Part 1.}$ Dejemos que $Z=\{X\in M_n(\mathbb{C});\;(*)\;tr(X^2)=(tr(X))^2\}$ ya que la relación estudiada $(*)$ es homogénea, $Z$ es un cono algebraico complejo de dimensión $n^2-1$ (es decir, $n^2-1$ parámetros complejos independientes).

$\textbf{Part 2.}$ La relación $(*)$ se puede escribir $tr(X^2-tr(X)X)=0$ que equivale a

hay $U,V\in M_n(\mathbb{C})$ s.t. $(**)$ $X^2-tr(X)X=UV-VU$ .

A la inversa, si se quiere construir tales matrices $X$ sin utilizar sus valores propios, entonces se puede hacer lo siguiente -cuando $n\geq 3$ (el caso $n=2$ ha sido resuelto por Jean Marie)-

i) Elegir al azar $U,V$

ii) Resuelve la ecuación $(**)$ . En general (elección genérica de $U,V$ ) , esta ecuación tiene $2,8,22,52$ soluciones (opuestas por pares) cuando $n=3,4,5,6$ .

Answer 4

Esencialmente, tenemos la siguiente ecuación en $\mathrm x \in \mathbb C^n$

$$\mathrm x^\top \left( \mathrm I_n - 1_n 1_n^\top \right) \mathrm x = 0$$

Tenga en cuenta que la matriz $\mathrm I_n - 1_n 1_n^\top$ tiene un valor propio $1$ con multiplicidad $n-1$ y el valor propio $1-n$ con multiplicidad $1$ . Por lo tanto, la ecuación anterior puede reescribirse en la base de vectores propios como sigue

$$y_1^2 + y_2^2 + \cdots + y_{n-1}^2 - (n-1) y_n^2 = 0$$

Tenga en cuenta que $\mathrm y = 1_n$ es una solución.

Answer 5

1. La condición de OP $${\rm tr}(A^2)~=~{\rm tr}(A)^2\tag{1}$$ siempre es válida para $n=1$ .

2. Supongamos que $n\geq 2$ a partir de ahora. La condición de OP (1) es entonces equivalente a la desaparición del coeficiente delante de la tercera potencia más alta $\lambda^{n-2}$ en el polinomio característico $$\begin{align}p_{A}(\lambda)~:=&~\det(A-\lambda \mathbb{1})\cr ~=&~(-\lambda)^n~+~ {\rm tr}(A)(-\lambda)^{n-1}~+~\frac{{\rm tr}(A)^2-{\rm tr}(A^2)}{2} (-\lambda)^{n-2}~+~\ldots .\end{align}\tag{2}$$ Para el caso $n=2$ esto concuerda con lo dicho por Jean Marie responder .