¿Hay alguna razón por la que las integrales sean mucho más fáciles de evaluar que las sumas?

Question

Una posibilidad es la fórmula de integración por sustitución. Pero esto no explica por qué $\int_1^{\infty}x^{-3}dx$ es fácil de evaluar (y racional) mientras que $\sum_1^{\infty}n^{-3}$ es desconocida (y aparentemente no es una combinación simple de números bien conocidos). Es cierto que $x^{-3}$ tiene una derivada inversa simple mientras que $n^{-3}$ no tiene una diferencia inversa simple conocida, ¿pero hay algo más que eso?

Answer 1

Esta es una respuesta de lego. No soy en absoluto un experto en integrales.

Mi primera reacción a esta pregunta fue que no estoy seguro de que esté de acuerdo y que como las sumas son integrales, esto ni siquiera tiene sentido. Luego me di cuenta de que la afirmación se puede reformular como

Las funciones continuas son más fáciles de integrar que las no continuas

Si lo expresamos de esa manera, entonces tal vez la respuesta es

a) muchas cosas son más fáciles de hacer con una función continua, o

b) en particular es más fácil encontrar la integral indefinida de una función continua que de una no continua. Especialmente porque la segunda no puede tener una buena antiderivada (Por ejemplo, no puede ser continuamente diferenciable).

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Descargo de responsabilidad Esta es una respuesta informal y no pretende contener afirmaciones matemáticamente rigurosas o verdades autoevidentes.

Answer 2

Las integrales de Riemann se definen como límites de sumas. En este contexto, las integrales son más fáciles ya que si podemos evaluar las sumas de forma explícita, entonces el límite suele ser sencillo de calcular. Por ejemplo, sea $\mathcal{P}$ un politopo convexo con vértices enteros. Sea $i(\mathcal{P},n)$ el número de puntos enteros en la dilatación $n\mathcal{P}$, $n\geq 1$ (el polinomio de Ehrhart de $\mathcal{P}$). A menudo se puede expresar $i(\mathcal{P},n)$ como una suma iterada, y se puede expresar el volumen de $\mathcal{P}$ como una integral iterada completamente análoga. Según la definición de la integral de Riemann, el coeficiente principal de $i(\mathcal{P},n)$ es el volumen de $\mathcal{P$, por lo que la integral es más fácil de calcular. Como ejemplo específico, sea $\mathcal{P}$ el triángulo con vértices $(0,0), (1,0), (0,1)$. La suma iterada es $\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^j 1 = {n+2\choose 2}$, mientras que la integral iterada es $\int_{x=0}^1\int_{y=0}^x 1\hspace{.1em}dy\hspace{.1em}dx = 1/2$.