¿Hay alguna razón por la que las integrales sean mucho más fáciles de evaluar que las sumas?

Question

Una posibilidad es la fórmula de integración por sustitución. Pero esto no explica por qué $\int_1^{\infty}x^{-3}dx$ es fácil de evaluar (y racional) mientras que $\sum_1^{\infty}n^{-3}$ es desconocida (y aparentemente no es una combinación simple de números bien conocidos). Es cierto que $x^{-3}$ tiene una derivada inversa simple mientras que $n^{-3}$ no tiene una diferencia inversa simple conocida, ¿pero hay algo más que eso?

Answer 1

Bueno, algunas cosas son más fáciles en un lugar, y otras cosas son más fáciles en el otro. Las numerosas afirmaciones en respuestas de que las integrales de $x^n$ son más fáciles que las sumas correspondientes son engañosas. En el mundo continuo, $x^n$ es un objeto muy natural. Sin embargo, en el mundo discreto, el objeto natural es el factorial decreciente: $x^{\underline{n}}$ se define como $x(x-1)\dots(x-n+1)$. Calcula la derivada de $x^{\underline{n}}$ y obtendrás un lío. Calcula la diferencia adelantada y obtendrás la sencillez hermosa $f(x+1)-f(x) = (x+1)^{\underline{n}} - x^{\underline{n}} = n x^{\underline{n-1}}.

Eso es, $$\sum_{i=1}^n i^9= \frac{1}{20} n^2 (n+1)^2 \left(n^2+n-1\right) \left(2 n^4+4 n^3-n^2-3 n+3\right)$$ es un poco confuso. Ciertamente más confuso que $\int x^9 dx$. Por otro lado,
$$\sum_{i=1}^n i^{\underline{9}} = \frac1{10} (n+1)^{\underline{10}}.$$ mientras que la integral $\int x^{\underline{9}}dx$ es lo suficientemente mala como para desafiarte a calcularla a mano.

La verdad aquí es que el mundo discreto a menudo es más fácil (y más fundamental, también), pero la historia nos ha prejuiciado a estar más familiarizados con el mundo continuo. Zeilberger (¿quién más?) ha escrito apasionadamente sobre esto, y si conoces otras fuentes para cálculo discreto (en línea o fuera de línea) por favor añádelas como comentarios a esta respuesta!

Answer 2

Aunque realmente no creo que esta sea una respuesta a tu pregunta en la generalidad en que la haces (de hecho, no dice nada del ejemplo que mencionas), aquí hay algo que viene a la mente.

Las integrales de $x^n$ para $n$ positivo son mucho más simples que las sumas de $x^n$. La razón es que al evaluar las primeras, primero se evalúan las segundas y luego se pasa a un límite. Es en este proceso de límite que todas las "cosas difíciles" desaparecen, y uno queda básicamente con términos principales. En otras palabras, en este caso, los procesos límite del cálculo eliminan todo excepto lo que es, en cierto nivel, un comportamiento dominante.

El mismo argumento (vago) se puede aplicar a las derivadas versus las diferencias (como en la respuesta de Theo). Las diferencias finitas también pueden ser diferencias a una escala enormemente grande - no hay una escala objetiva. Las derivadas, por otro lado, capturan algo que en retrospectiva es mucho más simple: un comportamiento verdaderamente local.

Answer 3

No estoy seguro de si esta pregunta es apropiada para MO, pero seguiré adelante. Una de las principales razones por las que las integrales de funciones elementales son más fáciles de evaluar algebraicamente que las sumas de funciones elementales es que las derivadas se comportan mucho mejor que las diferencias. Para un ejemplo bastante suave, considera la regla del producto: $$ \partial(f\cdot g) = (\partial f)\cdot g + f\cdot (\partial g) \quad\quad \Delta(f\cdot g) = (\Delta f)\cdot g + f\cdot (\Delta g) + (\Delta f) \cdot (\Delta g)$$ (Aquí $\Delta f(n) = f(n+1) - f(n)$, y $\partial$ es la derivada suave usual; $\cdot$ denota multiplicación.) Entonces "integración por partes" es ligeramente más simple que "sumación por partes". Pero dado que existe una regla del producto para diferencias, también existe una fórmula "sumación por partes".

Por otro lado, no existe regla de la cadena para diferencias: $$ \partial(f\circ g) = ((\partial f) \circ g) \cdot \partial g \quad\quad \Delta(f\circ g) = ?????$$ Si intentas escribir reglas de la cadena, verás que son muy complicadas y requieren apariciones extrañas de integrales/sumas.

La regla de la cadena para derivadas es precisamente la fórmula de sustitución u para integrales, y como mencionas en tu pregunta, no hay una fórmula similar para sumas.

Relacionado con ambos puntos está el hecho de que las funciones potencia $n\mapsto n^\alpha$ tienen derivadas muy buenas y diferencias no tan buenas. Al menos la diferencia de un polinomio es un polinomio, pero en general una función con partes no suaves / polos (como $n\mapsto n^\alpha$ para $\alpha \not\in \mathbb N$), al tomar diferencias generalmente se crean más polos. Por lo tanto, es extremadamente difícil imaginar la anti-diferenciación de una función con solo un polo: la anti-diferencia tendría que tener muchos polos que casi se cancelan al diferenciar.

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Sin embargo, me gustaría enfatizar que toda esta respuesta tiene que ver con métodos algebraicos (encontrar "expresiones en forma cerrada"). $\sum_{n=1}^\infty n^{-3}$ es un número perfectamente válido, y $m \mapsto \sum_{n=1}^m n^{-3}$ es una secuencia perfectamente válida; simplemente no sabemos la respuesta a ciertas preguntas sobre ellos, y no podemos escribirlos como composiciones de un conjunto muy restringido de símbolos. Se pueden calcular estas cosas con gran precisión. Para cualquier $m$ dado, puedo, con un poco de tiempo, darte el valor de $\sum_{n=1}^m n^{-3}$ como un número racional. También puedo calcular, de nuevo con suficiente tiempo, $\sum_{n=1}^\infty n^{-3}$ con la precisión que desees. De hecho, puedo calcularlo de manera más precisa (es decir, más rápido para una precisión determinada) que para algunas otras funciones que sí tienes en tu limitado vocabulario de funciones "básicas" (asumiendo que tu vocabulario es el que yo espero).

Answer 4

Puede ser más preciso sugerir que estamos más familiarizados con integrales fáciles que con sumas fáciles.

Es decir, se ha trabajado mucho más (y ciertamente hay mucha más experiencia práctica, especialmente entre ingenieros y científicos) con integrales que con sumas. El mundo es (parece) mayormente continuo, así que nos enfocamos principalmente en la integración.

Eso puede parecer una respuesta evasiva, pero es la que me viene a la mente.

Answer 5

Depende del objeto que se esté sumando/integrando. Hay ejemplos de sumas que son manejadas por la teoría de las funciones hipergeométricas cuyas integrales probablemente derrotarían a la mayoría de los sistemas CAS que existen.

Son diferentes porque los métodos para simplificar ambos procesos son distintos. El enfoque (en la educación estadounidense) en la integral es porque había más ejemplos de aplicación a mediados del siglo XX. Con la llegada del diseño de algoritmos y la combinatoria aplicada, se está poniendo más énfasis en la evaluación de sumas; aun así, creo que es seguro decir que la integración seguirá siendo enfatizada sobre la sumatoria en el futuro cercano.

Gerhard "Pregúntame Sobre Diseño de Sistemas" Paseman, 2011.02.17