Base de datos de longitudes de arista enteras que pueden formar tetraedros

Question

¿Existe una colección de listas de seis longitudes de arista enteras que formen un tetraedro? ¿Existe un programa informático para generar dichas listas? Necesito encontrar aproximadamente treinta combinaciones tetraédricas de este tipo.

Answer 1

Fue un ejercicio ligeramente entretenido escribir un cuaderno iPython para hacerlo (gracias a Gerhard Paseman y Stefan Kohl por ayudarme a corregir algunos errores). (Suponiendo que no haya más errores) esto responde a tu petición de "software". Incluido en la salida en el enlace de arriba es una lista explícita de enteros 6-vectores que son válidos longitudes de tetraedros (supongo que se podría llamar a esto una base de datos). Más explicaciones abajo.

Utilicé el papel Wirth y Dreiding, Edge lengths determining tetrahedrons, Elem. Math. 64 (2009) 160-170 como referencia.

Nótese que, a diferencia del "teorema SSS" para triángulos, dar una lista de 6 longitudes no especifica un tetraedro único (hasta la congruencia). Wirth y Dreiding definen así una convención según la cual un vector de 6 longitudes $(x,y,z,\bar x,\bar y,\bar z)$ corresponde a un tetraedro en el que $x,y,z$ son las longitudes de las aristas que salen de un vértice fijo del tetraedro, y $\bar x,\bar y,\bar z$ son las 3 aristas opuestas a $x,y,z$ respectivamente.

Dada tal tupla, Wirth y Dreiding incluyen fórmulas para el determinante de Cayley-Menger que uno necesita comprobar en la sección 3 de su artículo. Parecen afirmar que basta con comprobar el determinante 3D de Cayley-Menger y un determinante 2D de Cayley-Menger para una cara (véase la observación 5 de la sección 3), pero Gerhard Paseman da un ejemplo en el que esto falla.

Dado un conjunto de 6 longitudes distintas $l_1>l_2>\cdots>l_6$ hay 30 tetraedros no isométricos con estas longitudes de arista (suponiendo que existan). Una forma de encontrar representantes (esencialmente explicada en el artículo anterior en la sección 6) es dejar que $x=l_1$ que cualquier otro $l_i$ sea $\bar x$ (5 opciones), entonces $y$ sea el máximo de los restantes $l_i$ y, a continuación, incluya todas las permutaciones de las 3 longitudes restantes (6 opciones).

Mi código, muy ingenuo, hace lo siguiente. Primero genero todas las secuencias no crecientes de 6 enteros con entradas acotadas entre 1 y $m$ (en la versión del código enlazada anteriormente, $m=7$ ). A continuación, para cada una de esas secuencias no crecientes, genero las 30 permutaciones de esas secuencias descritas anteriormente. El tercer paso comprueba todas estas permutaciones con el determinante 3D de Cayley-Menger y los 4 determinantes 2D de Cayley-Menger correspondientes a cada una de las caras, utilizando las expresiones de Wirth y Dreiding.

El resultado (¡suponiendo que no haya errores!) es que hay 445 conjuntos distintos de 6 enteros, todos acotados entre 1 y 7, que son las longitudes de las aristas de los tetraedros (no degenerados).

Estas 445 6-tuplas se enumeran en la salida al final de el enlace a mi código . Sólo por diversión, también incluyo una tabla que muestra el número de conjuntos de longitudes de arista de tetraedros enteros con entrada máxima $m$ para $m=1$ a 25. Los resultados hasta 20 coinciden con los de Stefan Kohl.

Aparte : También se pueden utilizar estas funciones para enumerar los tetraedros que realizan estas longitudes de arista, pero para enumerarlos hasta la congruencia, habría que escribir una rutina que tratara con más cuidado los tetraedros simétricos. En cualquier caso, ese problema se ha tratado en este artículo de Sascha Kurz que también da una increíble explícita polinomio fórmula para el número de simétricos $4\times 4$ matrices de enteros no negativos limitadas por $d$ que satisfacen las desigualdades triangulares. Esto puede hacerse porque el determinante 2D de Cayley-Menger es reducible. Por desgracia, esto ya no es cierto en dimensiones superiores.

Answer 2

Aquí tienes un ejemplo de lo que puedes hacer en tu cabeza.

Tabula algunas triplas que representen longitudes de aristas de triángulos pequeños. Tengo y,x,x para y menor que 2x, x,x,x , y 2,3,4. Considera ahora configuraciones de cuatro aristas x y dos aristas no adyacentes dadas por y,z. Obtenemos (1,1,1), (2,2,1), (2,2,2), (3,y,z) para $4 \geq y \geq z \geq 1$ y lo mismo para (4,y,z), y ya tenemos 23 ejemplos. Se obtienen al menos siete ejemplos más teniendo tres aristas iguales en un punto y aristas menores formando un triángulo. Esto debería cumplir los requisitos.

Gerhard "Y ni un cálculo determinante" Paseman, 2017.09.28.

Answer 3

Puedo confirmar la lista de j.c. de 6-tuplas de enteros menores o iguales a 7 que son longitudes de aristas de tetraedros -- hasta la tupla (6,6,6,5,3,2), para la que obtengo un determinante de Cayley-Menger negativo. Las otras 445 tuplas parecen correctas. El número de estas tuplas de enteros $\leq n$ para $n$ de 1 a 20 son 1, 5, 18, 48, 112, 231, 445, 799, 1362, 2214, 3476, 5283, 7818, 11278, 15939, 22083, 30111, 40395, 53484, 69895. Este es el resultado de un cálculo de cinco minutos con el programa siguiente GAP función:

AllIntegerEdgeLengthsTetrahedra := function ( maxedge )

  local  tetrahedra, M, a, b, c, d, e, f;

  tetrahedra := [];
  for a in [1..maxedge] do
    for b in [1..a] do
      for c in [1..b] do
        if b + c <= a then continue; fi; 
        for d in [1..maxedge] do
          for e in [1..maxedge] do
            if d + e <= a or d + a <= e or a + e <= d then continue; fi; 
            for f in [1..maxedge] do
              if    e + f <= b or e + b <= f or b + f <= e
                 or d + f <= c or d + c <= f or c + f <= d
              then continue; fi;
              M := [[0,  1,  1,  1,  1],
                    [1,  0,a^2,c^2,d^2],
                    [1,a^2,  0,b^2,e^2],
                    [1,c^2,b^2,  0,f^2],
                    [1,d^2,e^2,f^2,  0]];
              if DeterminantMat(M) > 0 then Add(tetrahedra,[a,b,c,d,e,f]); fi;
            od;
          od;
        od;
      od;
    od;
  od;
  return Set(tetrahedra,t->Reversed(AsSortedList(t)));
end;

Answer 4

Quince de estos tetraedros pueden encontrarse en la respuesta a esta pregunta de MSE. . Código Mathematica para generar _Tetraedros heronianos_ en este artículo de la OEIS https://oeis.org/A272388 (que tiene algunos ejemplos explícitos. Un ejemplo explícito infinito se ofrece en R. H. Buchholz, Perfect Pyramids.

Buchholz, Ralph Heiner , Pirámides perfectas Bull. Aust. Math. Soc. 45, No.3, 353-368 (1992). ZBL0747.52008 .

Answer 5

Existe una forma de construir tetraedros paralelos a ejes utilizando Ladrillos de Euler . Tres de las aristas vienen dadas por vectores $(a,0,0), (0,b,0),(0,0,c)$ para que $$a^2+b^2=d^2,\quad b^2+c^2=e^2,\quad a^2+c^2=f^2$$ para $a,b,c,d,e,f\in\Bbb N$ . Hay infinitas soluciones en varias familias paramétricas dadas en el enlace anterior. Esto puede convertirse en un algoritmo. El propio enlace contiene una pequeña lista de ejemplos.