Determinante y valores propios de una matriz específica

Question

Esto surgió en una conversación con un ingeniero amigo mío.

Sea$c>0$ una constante. Sea$A_{ij}$ una matriz$n$ por$n$ con entradas $$ A_ {ij} = e ^ {- c (ij) ^ 2}. $$ ¿Hay un nombre para esta matriz? Lo que se conoce, tal vez de forma aproximada o asintóticamente como $c$ y$n$ cambian sobre el determinante y los valores propios del mismo? ¿Hay otras funciones? de$(i-j)$ para el que la respuesta es más explícita?

Answer 1

Queremos$a>0,b\geq 0,c\geq 0$,$a,b,c\leq 9$ st$r = \frac{(100a+10b+c)}{(a+b+c)}$ es mínimo.

$r = 1 + \frac{(99a+9b)}{(a+b+c)}$.

Para un$a$ y$b$ dado, esto es mínimo cuando$c$ es el máximo, es decir,$9$.

Ahora dado $ c = 9, r = 1 + \ frac {(99a + 9b)} {(a + b + 9)} = 1 + 9 + \ frac {(90a-9)} {(a + b + 9)} $.

Nuevamente, vemos que esto se da como mínimo$a$ cuando$b$ es el máximo, es decir,$9$.

Ahora, dado$b=c=9$,

$r = 10+\frac{(90a-9)}{(a+18)}$

$\frac{(r-10)}{9}=\frac{(10a-1)}{(a+18)}$

$= \frac{(10a+180-179)}{(a+18)}$

$= 10 - \frac{179}{(a+18)}$.

Claramente, esto es mínimo cuando a tiene el menor valor posible, es decir, 1.