Demostrando que si se cierra un subconjunto de un espacio métrico completo, también es completa

Question

Deje $(X, d(x,y))$ ser un espacio métrico. Probar que si $A\subseteq X$ es un conjunto cerrado, a continuación, $A$ también está completo.

Mi intento: traté de probar que cada secuencia de Cauchy $(b_n)$ de los puntos de $A$ converge a un punto de $b\in A$. Sin embargo no se pudo averiguar la salida. Tal vez estoy en el camino equivocado. Podría por favor ayudarme?

edit: Más de mi intento:

Supongamos $A$ es un conjunto cerrado y deje $(x_n)$ ser una secuencia de puntos de $A$ tal que $\lim_n x_n\to b$.

Supongamos ahora que $A$ tiene la propiedad de que $b\in A$, siempre que $x_n$ converge a $b$. Sabemos que cada elemento de a $x_n$ que es convergente en $X$ también converge a un punto en $A$. Desde $x_n$ es una secuencia de Cauchy en $A$, se deben converger a un punto de $y\in A$. Pero el límite de una secuencia convergente es único.

Tome $x\in A$ y seleccione un $n$, lo que permite a $x_n$ a converger a un punto de $x$$X$. Ya que el límite es único, se debe seguir ese $x=y$. Por lo tanto $x\in A$ $A$ es cerrado.

Si $A$ es un subconjunto cerrado de $X$, entonces cualquier secuencia de Cauchy de un punto en $A$ es convergente en $X$ y por lo tanto converge a un punto en $A$. Por lo tanto $A$ es completa.

Answer 1

Que $(M,d)$ ser un completo espacio métrico y que $A \subseteq M$. Supongamos que se cierra $A$.

Demanda. $(A,d)$ es completa.

Prueba. Que $(x_n)$ sea una secuencia de Cauchy en $A$. Entonces $(x_n)$ es una secuencia de Cauchy en $(M,d)$ (trivial para verificar). Así $x_n \to x \in M$. Pero $A$ está cerrada, que contiene todos sus puntos límite. Así $x \in A$. Por lo tanto, $(A,d)$ es completa.

Answer 2

Aquí se entiende que la métrica utilizada en el subconjunto decir $N$ es el mismo que el utilizado en $M$, el super set. Deje $(x_n)$ ser una secuencia (de Cauchy) en $N$. Respecto a ella, como una secuencia en $M$, todavía es una secuencia de Cauchy en $M$ , y así desde $M$ es completa, que converge en $M$ (por decir a $x$). Ya, $x_n$ pertenece a $N$ $x_n \to x$ $N$ es cerrado (todos acumulación/cluster puntos están contenidos en $N$), $x$ pertenece a $N$. Por lo tanto $(x_n)$ converge en $N$, y por lo $N$ es completa.

Answer 3

Consejo: Estás en el camino correcto, creo. Cualquier secuencia de Cauchy converge a un $b\in X$.