Acción de automorfismo externo sobre representaciones de $S_6$

Question

Dejemos que $S_6$ sea el grupo simétrico sobre 6 letras y sea $\alpha \colon S_6 \to S_6$ sea un automorfismo externo (nótese que $S_6$ es el único grupo de permutación que tiene un automorfismo exterior y que $\mathrm{Out}(S_6) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ). Para cualquier representación irreducible $\rho \colon S_6 \to \mathrm{GL}(V)$ de $S_6$ la composición $\rho \circ \alpha \colon S_6 \to \mathrm{GL}(V)$ también es una representación irreducible.

Pregunta: ¿Existe alguna referencia que describa la acción de esta operación ( $\rho \mapsto \rho \circ \alpha$ ) en el conjunto de todas las representaciones irreducibles de $S_6$ en $\mathbb{C}$ (es decir, en el conjunto de particiones de 6)?

Answer 1

En primer lugar, observe que esta operación preserva la dimensión de la representación, esto ya restringe considerablemente las cosas: las dimensiones de las irreps. son 1,1,5,5,5,5,9,9,10,10,16. La rep. trivial es fija, por lo que la rep. de signos también debe serlo. La rep. de 16 dimensiones. $V_{(3,2,1)}$ también es fijo.

A continuación, ya que $\alpha$ mapea las clases de conjugación a las clases de conjugación, preserva el conjunto de valores de caracteres de $\rho$ . Si se comprueba esto con una tabla de caracteres, se ve que las reps. de 9 dimensiones también son todas fijas. Esto permite la posibilidad de que las rep. de 5 dimensiones sean fijas. $V_{(5,1)}$ se envía a $V_{(2,2,2)}$ y su conjugado $V_{(2,1,1,1,1)}$ se envía a $V_{(3,3)}$ . Se puede ver que uno de estos pares se intercambia si y sólo si el otro es por tensado con la representación del signo. Los irreps de 10 dimensiones. $V_{(4,1,1)}$ y $V_{(3,1,1,1)}$ también se puede intercambiar.

EDIT: Después de haber escrito esto, Mark Wildon ha enlazado con una pregunta que subsume ésta. Su respuesta allí, utilizando una descripción explícita de $\alpha$ La acción de la empresa sobre las clases de conjugación, es que todos los intercambios posibles que he identificado ocurren de hecho.