¿El$q$ - número catalán cuenta subespacios?

Question

Considere el$n$ - subconjuntos de elementos$\{a_1<a_2<\cdots <a_n\}$ de$\{1,\ldots ,2n\}$ satisfaciendo$a_i\geq 2i$ para todos los$i=1,\ldots ,n$. El número de estos subconjuntos viene dado por$${2n\choose n}-{2n\choose n-1}=\frac{1}{n+1}{2n\choose n},$ $ que es el$n$ th Número catalán.

Quiero saber si el$q$ - número catalán$$\frac{q^{n}}{[n+1]_q}{2n\choose n}_q={2n\choose n}_q-{2n\choose n-1}_q$ $ cuenta algún tipo de$n$ - subespacios dimensionales especiales dentro de$\mathbb{F}_q^{2n}$? Tenga en cuenta que${2n \choose n}_q$ es el número total de$n$ - subespacios dimensionales de$\mathbb{F}_q^{2n}$ ($\mathbb{F}_q$ denota un campo finito de orden$q$).

Answer 1

Brandt, Dipper, James y Lyle dieron una respuesta a su pregunta en "Rank Polynomials", publicado en Proc. London Math. Soc. (3) 98 (2009), 1-18. Un caso especial del teorema 2.6 en ese documento responde a su pregunta.