de un círculo a esferas superiores

Question

Pregunta: ¿Existe un grupo$G$ y un complejo CW$X$ tal que

1)$X$ es homotopía equivalente al círculo$S^{1}$.

2)$G$ actúa sobre$X$

3) el espacio de puntos fijos$X^{G}$ es débilmente equivalente a$S^{2}$?

Answer 1

¿Qué tal el flujo de

$$ X = (\ cos (2 \ pi \ theta) + 2- | x | ^ 2) \ parcial_ \ theta $$

en$B^3\times S^1$, con las coordenadas$x\in B$ y$\theta\in S^1$? Las soluciones de este sistema existen para siempre, por lo tanto, esto define una acción$\mathbb{R}$. El conjunto de puntos fijos coincide con el conjunto cero del campo vectorial, que es $ S ^ 2 \ times \ {1/2 \}$. By removing the non-fixed points which are not on periodic orbits (i.e. $ S ^ 2 \ times (S ^ 1 \ setminus \ {\ frac {1} {2} \})$) we get an $ S ^ 1 $ acción con las propiedades requeridas.