Si $\lim_\limits{n\to\infty}(a_n\sum_{i=1}^{n}a_i^2)=1$ entonces $\lim_\limits{n\to\infty}\sqrt[3]{(3n)}a_n=1$

Question

Si $\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2)=1$ demuestre $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[3]{(3n)}a_n=1$ .

Desde $a_n^2\geqslant0$ si $\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2\to M,a_n\to 0, $ entonces $\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2)=0$ es contradictorio con $\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2)=1.$

Así que concluyo $\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2\to+\infty$ entonces obtengo $a_n\sim\frac{1}{\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2}\to 0$

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[3]{(3n)}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sqrt[3]{(3n)}}{\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sqrt[3]{3n}-\sqrt[3]{3(n-1)}}{a_n^2}$ (según $Stolz~theorem$ )

Sin embargo, no tengo ni idea de cómo continuarlo, agradezco sinceramente su ayuda.

Answer 1

Ya casi está. Considere $s_n=\sum\limits_{i=1}^{n} a_i^2$ . Tenemos $$\lim s_{n+1}/s_n=1+\lim(s_{n+1}-s_n)/s_n=1+\lim a_{n+1}^2/s_n=1.$$ También, $$\lim s_{n+1}^3-s_n^3=\lim (s_{n+1}^2+s_{n+1}s_n+s_n^2)a_{n+1}^2=\lim (1+s_n/s_{n+1}+(s_n/s_{n+1})^2)(s_{n+1}a_{n+1})^2=3.$$ Así, $\lim s_n^3/3n=1$ . En $\lim_n a_ns_n=1$ , $\lim_n\frac{1}{\sqrt[3]{3n}a_n}=\lim_n \frac{s_n}{\sqrt[3]{3n}}\frac{1}{a_ns_n}=1$ . El resultado es inmediato.

Answer 2

Considere el límite de $$[\sqrt[3]{3n}a_n]^2 \displaystyle\frac{\sqrt[3]{3n}-\sqrt[3]{3n-3}}{a_n^2} $$ .