¿Por qué la duplicación pasa de producto-es-cuadrado a cada uno-es-cuadrado?

Question

Dejemos que $E_d$ sea el grupo de puntos racionales de la curva elíptica $$y^2=(x-d)x(x+d)$$

Es bien sabido -y fácil de comprobar por el álgebra elemental- que $(x,y)\in E_d$ pertenece a $2E_d$ precisamente cuando los tres $x-d$ , $x$ , $x+d$ son cuadrados.

Esto parece demasiado limpio para ser una mera coincidencia.

¿Existe una generalización natural de este hecho? ¿O una forma más conceptual de entender por qué debería ser cierto?

Answer 1

Una visión geométrica para complementar Joe Silverman de la respuesta cohomológica:

Supongamos de forma más general que $E$ es la curva elíptica "producto-es-cuadrado" $$y^2 = (x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)$$ para algunos pares distintos de $e_i$ y que $C$ sea la curva "cada uno es un cuadrado" $$\begin{cases} y_1^2 = x-e_1, \cr y_2^2 = x-e_2, \cr y_3^2 = x-e_3, \end{cases}$$ Entonces $E$ es una cubierta doble del $x$ -línea, y $C$ es un $\{\pm1\}^3$ cubierta con $E$ como cubierta intermedia con grupo de Galois isomorfo con $({\bf Z} / 2{\bf Z})^2$ ; explícitamente el $4:1$ mapa $C \to E$ es $$(x,y_1,y_2,y_3) \mapsto (x, y_1 y_2 y_3).$$ Por Riemann-Hurwitz, $E$ como $C$ , tiene el género $1$ Así que este $({\bf Z} / 2{\bf Z})^2$ portada $C \to E$ no está ramificado. Por lo tanto, si elegimos para el origen de $C$ una de las preimágenes del origen de $E$ la cubierta debe ser el mapa de duplicación.

Answer 2

Parece que estás trabajando sobre $\mathbb Q$ . Y estás usando una curva elíptica en la que toda la 2-torsión es racional, así que $E[2]$ es isomorfo a (digamos) $\boldsymbol\mu_2^2$ como módulo de Galois, donde $\boldsymbol\mu_2=\{\pm1\}$ es el grupo de las raíces cuadradas de 1. Bien, ahora considera la inyección (esto viene de la teoría básica de Kummer de las curvas elípticas) \begin {align*} E( \mathbb Q)/2E( \mathbb Q) & \hookrightarrow H^1(G_{ \overline { \mathbb Q}/ \mathbb Q},E[2]) \\ & \cong H^1(G_{ \overline { \mathbb Q}/ \mathbb Q}, \boldsymbol\mu_2 ^2) \\ & \cong H^1(G_{ \overline { \mathbb Q}/ \mathbb Q}, \boldsymbol\mu_2 )^2 \\ & \cong \mathbb Q^*/( \mathbb Q^*)^2 \times \mathbb Q^*/( \mathbb Q^*)^2. \end {align*} (El isomorfismo final es la teoría estándar de Kummer.) Así que esto al menos te dice que si $P$ está en $2E(\mathbb Q)$ debería depender de si ciertos valores son cuadrados. Si se rastrea a través de todos los mapas, lo que requiere elegir una base para $E[2]$ se encontrará (para una de las opciones) que está dada por $$P \longmapsto \bigl(x(P),x(P)-d\bigr),$$ así que $P$ está en $2E(\mathbb Q)$ si y sólo si ambos $x(P)$ y $x(P)-d$ son cuadrados. Por supuesto, a partir de la ecuación de $E$ dos cualesquiera de $x(P)$ , $x(P)-d$ y $x(P)+d$ ser un cuadrado obliga al tercero a ser también cuadrado. Por último, si $x(P)=0$ o $x(P)=d$ Durante el análisis se descubre que hay que utilizar una fórmula diferente. Por ejemplo, dado que $x$ y $(x-d)(x+d)$ difieren multiplicativamente por un cuadrado, se tiene $$0 \longmapsto (-d^2,-d) = (-1,-d) \in \mathbb Q^*/(\mathbb Q^*)^2\times \mathbb Q^*/(\mathbb Q^*)^2.$$

Para responder a su segunda pregunta, si $E[m]\subset E(K)$ entonces uno obtiene de manera similar una inyección $$E(K)/mE(K) \hookrightarrow K^*/(K^*)^m\times K^*/(K^*)^m,$$ por lo que (más o menos) hay funciones racionales $f$ y $g$ en $K(E)$ tal que para $P\in E(K)$ tenemos $$P \in mE(K) \;\Longleftrightarrow\; \text{$ f(P) $ and $ g(P) $ are $ m $'th powers in $ K^* $.}$$