Cuando$G$ actúa trivialmente sobre$M$, el primer grupo de homología es simplemente la abelianización de$G$ tenso con$M$, es decir,$H_1(G;M)=(G/[G,G])\otimes_\mathbb Z M$.
¿Existe alguna declaración similar cuando$G$ no actúa trivialmente en$M$? ¿De dónde viene la abelianización?
Usando la secuencia exacta corta$0\to I\to \mathbb Z G \to \mathbb Z \to 0$ y la secuencia exacta larga asociada para${\rm Tor}_*^{\mathbb ZG}(-,M),$ obtenemos la siguiente secuencia exacta PS En particular, obtenemos PS Si$$0 \longrightarrow H_1(G,M) \longrightarrow I \otimes_{\mathbb ZG} M \longrightarrow M \longrightarrow H_0(G,M) \longrightarrow 0.$ actúa trivialmente en$$H_1(G,M)={\rm Ker}(I \otimes_{\mathbb ZG} M \longrightarrow M).$ el mapa$G$ es trivial y obtenemos$M,$ Por lo tanto, es una generalización de su fórmula.
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