¿Se cumple el teorema del bocadillo de jamón para dividir objetos en tercios?

Question

El teorema del sándwich de jamón afirma que dado $n$ medible "objetos" en $n$ -espacio dimensional, es posible dividir todos en la mitad (con respecto a su medida) con una sola $(n1)$ -hiperplano dimensional.

En $n$ -espacio euclidiano, podemos dividir $n$ objetos en tercios utilizando dos hiperplanos de codimensión $1$ ? De forma más general: ¿podemos dividir cada objeto en $k$ partes de igual volumen utilizando $k-1$ ¿hiperplanos?

Sé que estos $k-1$ Los hiperplanos no serían necesariamente disjuntos (visualice un objeto enorme y un objeto diminuto a una pequeña distancia en $\Bbb{R}^2$ y tratar de rebanarlas $k$ veces--las líneas se cruzan claramente), en cuyo caso pregunto: ¿Qué propiedades deben tener los objetos para que los hiperplanos de codimensión $1$ para ser disjuntos?

Parece que se puede dividir en $k$ partes por el teorema de separación de hiperplanos . El método de división parece más fácil cuando $k$ es uniforme, y no tan evidente para impar $k$ .

Junto con el método para dividir en $k$ (impar) partes iguales, la pregunta a la que realmente me gustaría una respuesta es: ¿cuándo son los hiperplanos de codimensión $1$ ¿Desunidos?

Editar: Dado que esta pregunta no está recibiendo tanta atención como esperaba, me gustaría revisar la solicitud de recompensa para que simplemente se trate de cualquier idea sobre las preguntas que tengo; no es necesaria una prueba completa si no se puede ofrecer una. ¡Siéntase libre de compartir sus ideas sobre esto o iniciar una discusión! Gracias.

Answer 1

Puede tener ciertamente una línea que corte dos objetos en $R^2$ a un tercio y dos tercios cada uno. Entonces puedes construir otra línea que corte las dos partes de dos tercios por la mitad. El problema es que las dos líneas pueden cruzarse, por lo que pueden cortar uno de los objetos en más partes (cuatro).

Por ejemplo $X=D_1(0,5)\cup D_1(0,-5)$ y $$ Y=D_1(5,0)\cup D_1(10,0)\cup D_1(15,0)\cup (\bar D_{10}(10,0)\setminus D_{10}(10,0)) $$ Aquí $D_r(x,y)$ es un disco con centro $(x,y)$ y el radio $r$ . Esto significa, $X$ está formado por dos pequeños discos y $Y$ por tres discos y un círculo (grande).

Dos líneas cualesquiera que la primera corte simultáneamente $X$ y $Y$ en una parte grande que es el doble de la otra parte, y tal que la segunda corta $X$ las partes grandes en mitades, necesariamente cortadas $Y$ en cuatro partes.

En $R^3$ es aún peor: Toma $X=B_1(0,0,10)$ , $Y=B_1(0,0,-10)$ y $Z$ un toroide alrededor del círculo $x^2+y^2=10^2$ , $z=0$ ; digamos que con radio menor 1. Cualquier plano que pase por $X$ y $Y$ no puede cortar el toroide $Z$ en una parte que es el doble de la otra.

Lo siento, mi primera afirmación es falsa, si tomas un disco pequeño y un anulo grande con el mismo centro, entonces no puedes tener una línea que corte los dos objetos en $R^2$ a un tercio y dos tercios cada uno simultáneamente.

Si se permite cortar cada objeto en cuatro partes, el resultado (en $R^2$ ) parece ser cierto.

Aquí una aproximación (incompleta): Toma todas las líneas que cortan un objeto en un tercio, son una familia continua de líneas que dan la vuelta. Si ninguna de las líneas corta al otro objeto en un tercio, entonces o bien corta algo que es siempre menor que un tercio, o bien siempre mayor que un tercio. Cambiando eventualmente los objetos se puede suponer que siempre es mayor. Fijemos una de estas líneas, que corta el segundo objeto en partes A,B; estando B en el mismo lado que la tercera parte del primer objeto. Entonces las líneas que cortan la dos tercera parte en dos mitades son una familia continua de líneas que cortan $A$ en $A_1, A_2$ y $B$ en $B_1, B_2$ . Uno de ellos satisface que $B_1+A_1$ (piezas opuestas) es un tercio.

Ahora basta (y esto es lo incompleto) con demostrar que moviéndose alrededor de la recta fija (y de toda la construcción) se obtiene en algún momento la igualdad $A_2=B_2$ (igual a un tercio).

Answer 2

No puedes hacer esto. En $\Bbb R^2$ Considera tres pequeños círculos en las esquinas de un triángulo. Cada línea sólo cruza dos de los círculos, por lo que de dos líneas habrá dos círculos que sólo se encuentren con dos líneas o un círculo que no se encuentre con ninguna línea. Está claro que no todos los círculos se dividirán en tercios.