¿Es todo grupo finito cociente propio de un grupo primitivo finito?

Question

Sea $G$ sea un grupo finito. ¿Existe necesariamente un grupo finito de permutaciones primitivas $P$ y un subgrupo normal $N>1$ de $P$ tal que $P/N \cong G$ ?

En caso negativo, ¿qué restricciones tienen los cocientes de grupos de permutaciones primitivas finitos?

Answer 1

Sí. Podemos suponer que $G$ es un grupo de permutación transitiva. Sea $S$ sea cualquier grupo simple finito primitivo, como por ejemplo $A_5$ en su representación natural. Ahora dejemos que $P$ sea el producto en corona de $S$ con $G$ utilizando la acción del producto, que tiene grado $d(P) = d(S)^{d(G)}$ . Esto da un grupo primitivo, y el cociente de $P$ con el grupo base $S^{d(G)}$ del producto corona es isomorfo a $G$ .

Obsérvese que la acción del producto corona primitiva de $S \wr G$ también puede describirse como su acción por multiplicación sobre los cosets de su subgrupo maximal $T \wr G$ donde $T$ es un estabilizador puntual en $S$ .