Álgebra de von Neumann separable

Question

¿Cuál es el argumento más sencillo que demuestra que cada álgebra de von Neumann de dimensión infinita no es separable (en la topología de la norma)? Parece que se trata de una especie de folclore : al menos yo nunca he visto la prueba de este hecho.

Answer 1

Esto se demuestra, por ejemplo aquí Corolario 1.3.17 p. 26.

Estoy lejos de ser un experto, sin embargo me parece que el ingrediente principal de la prueba es el hecho de que si un álgebra de von Neumann es de dimensión infinita, entonces contiene una familia infinita de proyecciones ortogonales por pares no nulas (véase la Proposición 1.3.16).

Answer 2

Supongamos que tenemos un álgebra de von Neumann de dimensión infinita. En particular, se trata de un álgebra C* por lo que contiene un álgebra C* abeliana de dimensión infinita $A$ . En consecuencia, $\overline{A}^{{\rm WOT}}$ es un álgebra abeliana de von Neumann no separable. No es necesario invocar el hecho de que es isomorfa a $L_\infty(\mu)$ para alguna medida $\mu$ , basta con utilizar el cálculo funcional de Borel para construir un subconjunto discreto incontable en $\overline{A}^{{\rm WOT}}$ tal y como se haría en $L_\infty$ .

El hecho de que toda álgebra C* de dimensión infinita contenga una subálgebra abeliana de dimensión infinita es bastante elemental y puede encontrarse en Kadison-Ringrose.

Answer 3

No estoy seguro de que esto pueda calificarse de simple, pero el siguiente argumento demuestra el resultado requerido. Hay una topología natural localmente convexa en cada álgebra de von Neumann (la más fina que coincide con la topología débil del operador en la bola unitaria) que tiene la propiedad de que el teorema del grafo cerrado se cumple para cada mapeo lineal en un espacio de Banach SEPARABLE. Por lo tanto, si el álgebra fuera separable en la topología de la norma, entonces esta última coincidiría con la primera y esto sólo puede ocurrir en el caso dimensional finito.