Operador que viaja con proyecciones

Question

Investigamos el espacio de Hilbert %-%-% con vectores de base ortonormal estándar %-%-%

Considere la familia de la clasificación auto-contigua %-%-% proyecciones %-%-%

Toma cualquier %-%-%. Mi pregunta es la siguiente: ¿Existe un operador lineal limitado %-%-% en %-%-% que se desplaza con todo %-%-% para %-%-%, pero no con %-%-%?

Answer 1

Tal vez una forma más rápida de ver esto es, si %-%-% para todos los %-%-%% entonces %-%-%-%.'%' Por lo tanto, dado que %-%-% se desplaza con %-%-%, debe conmutar con %-%-%.

Answer 2

La respuesta es no. De hecho, sin pérdida de generalidad (wlog), %-%-%, de modo que %-%-% para todo %-%-% (suponiendo aquí que %-%-%). Dado que %-%-% y %-%-%, de ello se deduce que %-%-%. (En este caso, por supuesto, %-%-% es el operador de identidad y el operador %-%-% se define por la condición de que %-%-% para todo %-%-%.)