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Mi pregunta es: ¿Qué significa "puramente local" ? Además, he oído hablar de esta frase "puramente local" en otros problemas también, sobre todo con la frase "una prueba puramente local".
La otra pregunta es, para GL(1) y GL(2), ¿existe ya una "prueba puramente local"?
Gracias.
La respuesta breve a la pregunta es que todas las pruebas conocidas actualmente de la correspondencia local de Langlands (y aquí sólo me refiero a GL(n)) son "globales" en el sentido de que implican incrustar el problema local en uno global. Es decir, el campo local en cuestión se realiza como la terminación de un campo global en uno de sus lugares. Entonces se puede aplicar la teoría de las formas automórficas sobre el campo global. En particular, bajo ciertas circunstancias, sabemos que las representaciones de Galois pueden estar unidas a representaciones automórficas. Una prueba puramente local no haría referencia a los campos globales en absoluto.
Kevin ha comentado que un sistema puramente local caracterización (utiliza la palabra declaración ) de las correspondencias es un requisito previo para una prueba puramente local. La caracterización establecida para GL(n) (y de hecho, la utilizada en las pruebas de Henniart y Harris-Taylor) es, como señala Kevin, a través de factores épsilon de pares, y la existencia de éstos sólo se define por medios globales. (Rob tiene razón en que Langlands tiene notas no publicadas sobre el tema, pero son tan complicadas que no son satisfactorias, y en cualquier caso no está realmente claro cuál es la caracterización correcta para grupos distintos de GL(n)).
Ahora, el importante comentario de Alexander Chervov: ¿cuál es la caracterización correcta en el caso de $n = 1$ ? Claro, se pueden establecer algunas condiciones cuantitativas que impliquen la ramificación. Pero recordemos que el camino más elegante hacia la CFT local es sin duda a través de la teoría de Lubin-Tate: las máximas extensiones abelianas totalmente ramificadas de un campo local no arquimédico se obtienen adhiriendo la torsión de un módulo formal unidimensional de altura uno. Declaremos que la propia teoría de Lubin-Tate proporciona la caracterización correcta de la correspondencia local de Langlands en el $n=1$ (y al diablo con los conductores, las sumas de Gauss, etc.).
Este punto de vista sugiere que las variaciones sobre el tema de los módulos formales deberían proporcionar la caracterización puramente local correcta de los Langlands locales (y también la esperanza de una prueba puramente local). Ahora bien, ya en 1990, Carayol conjeturó ("teoría noabeliana de Lubin-Tate") que ciertos espacios de deformación de módulos formales ("espacios de Lubin-Tate") presentan la correspondencia local de Langlands en su cohomología, al menos para algunas clases de representaciones de GL(n). Harris y Taylor demuestran la conjetura de Carayol para representaciones supercúspides, lo que es suficiente para demostrar la existencia de la correspondencia en general. Aquí la caracterización sigue siendo a través de factores épsilon de pares, y por tanto sigue siendo de naturaleza global.
El siguiente gran avance en esta línea es el proyecto de Peter Scholze nueva prueba de las correspondencias para GL(n). Aunque sigue siendo de naturaleza global, Scholze da una caracterización puramente local de las correspondencias, que satisface los requisitos de Kevin para una "biyección natural", y que es compatible con la teoría global. Supongamos que $\pi$ es una representación irreducible suave de $\text{GL}_n(F)$ ( $F$ a $p$ -campo de los ádicos). Scholze caracteriza la correspondiente representación de Weil (semisimplificada) $\sigma$ dando una verdadera fórmula para el rastro de $\sigma(\tau)$ para cualquier elemento $\tau$ en el grupo Weil de $F$ ¡! La otra cara de la fórmula de Scholze es demasiado complicada para describirla aquí, pero implica espacios de deformación de $p$ -grupos divisibles de forma ingeniosa. Cuando $n=1$ la fórmula se reduce a la afirmación de que la teoría de campo de clase local se realiza en la torsión de los módulos formales de Lubin-Tate. En mi opinión, los ataques puramente locales a la correspondencia local de Langlands deberían comenzar aquí.
(No es que nada de lo anterior vaya a ser mencionado en mis charlas de mañana. Mis propias y escasas contribuciones a esta historia aún no se relacionan con el trabajo de Scholze, sino sólo con la teoría de los tipos, que figura de forma destacada en el libro de Bushnell-Henniart mencionado por Keerthi).
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